Чтобы упростить выражение (1 + cos²2x)(1 + tg²x) + 4sin²x, нужно использовать несколько тригонометрических тождеств. Давайте разберем шаг за шагом:

1. Начнем с первого множителя (1 + cos²2x). Напомним, что cos²2x можно выразить через основное тригонометрическое тождество: cos²2x = (1 + cos4x)/2. Это тождество следует из двойного угла для косинуса: cos2x = 2cos²x - 1.

2. Теперь рассмотрим второй множитель (1 + tg²x). Используем тождество: 1 + tg²x = 1/cos²x. Это следует из основного тригонометрического тождества: 1 + tg²x = sec²x

3. Теперь мы можем переписать исходное выражение:

   • (1 + cos²2x)(1 + tg²x) = (1 + (1 + cos4x)/2) * (1/cos²x)
   • = (3/2 + cos4x/2) * (1/cos²x)
   • = (3/2cos²x + cos4x/2cos²x)

4. Теперь добавим 4sin²x к этому выражению:

   • 3/2cos²x + cos4x/2cos²x + 4sin²x

5. Используем еще одно тождество: sin²x = 1 - cos²x. Тогда:

   • 4sin²x = 4(1 - cos²x)
   • = 4 - 4cos²x

6. Подставим это обратно в наше выражение:

   • 3/2cos²x + cos4x/2cos²x + 4 - 4cos²x
   • Объединяем подобные члены:
   • (3/2cos²x - 4cos²x) + cos4x/2cos²x + 4
   • = -5/2cos²x + cos4x/2cos²x + 4

7. В результате мы получаем упрощенное выражение:

   • -5/2cos²x + cos4x/2cos²x + 4