Как можно упростить следующее выражение: 3 + 4i / i + 4 - i / 3 + 2i?

Алгебра 11 класс Комплексные числа Упрощение выражения алгебра 11 класс комплексные числа математические операции дроби с комплексными числами Новый

Чтобы упростить выражение 3 + 4i / i + 4 - i / 3 + 2i, давайте сначала разберемся с его структурой и упростим каждый из его компонентов.

Исходное выражение можно записать как:

(3 + 4i) / (i + 4) - (i / (3 + 2i))

Теперь упростим каждую часть отдельно.

Шаг 1: Упрощение первой части (3 + 4i) / (i + 4)

Для упрощения дроби (3 + 4i) / (i + 4) мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе.

• Сопряженное значение (i + 4) - это (-i + 4).
• Умножаем числитель и знаменатель:

(3 + 4i)(-i + 4) / (i + 4)(-i + 4)

Теперь вычислим числитель:

• 3 * -i + 3 * 4 + 4i * -i + 4i * 4 = -3i + 12 - 4 + 16i = 12 - 4 + 13i = 8 + 13i.

Теперь вычислим знаменатель:

• (i + 4)(-i + 4) = -i^2 + 4i - 4i + 16 = 1 + 16 = 17.

Таким образом, первая часть упрощается до:

(8 + 13i) / 17.

Шаг 2: Упрощение второй части -i / (3 + 2i)

Аналогично, мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

• Сопряженное значение (3 + 2i) - это (3 - 2i).
• Умножаем:

-i(3 - 2i) / (3 + 2i)(3 - 2i)

Вычислим числитель:

• -3i + 2i^2 = -3i - 2 = -2 - 3i.

Теперь знаменатель:

• (3 + 2i)(3 - 2i) = 9 + 4 = 13.

Таким образом, вторая часть упрощается до:

(-2 - 3i) / 13.

Шаг 3: Объединение частей

Теперь мы можем записать полное выражение:

(8 + 13i) / 17 - (-2 - 3i) / 13.

Чтобы вычесть эти дроби, найдем общий знаменатель, который равен 221 (17 * 13).

• Первая дробь: (8 + 13i) * 13 / 221 = (104 + 169i) / 221.
• Вторая дробь: (-2 - 3i) * 17 / 221 = (-34 - 51i) / 221.

Теперь мы можем вычесть дроби:

(104 + 169i) / 221 + (34 + 51i) / 221 = (104 + 34) + (169 + 51)i / 221 = 138 + 220i / 221.

Шаг 4: Итоговое выражение

Таким образом, окончательно упрощенное выражение будет:

(138 + 220i) / 221.

Это и есть окончательный ответ!