Как можно упростить следующее выражение:

(cosα + cos3α) / (2cosα) + 2sin²α?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos α sin α математические выражения решение задач по алгебре Новый

Чтобы упростить выражение (cosα + cos3α) / (2cosα) + 2sin²α, давайте разобьем решение на несколько шагов.

1. Упростим первую часть выражения:

Мы имеем (cosα + cos3α) / (2cosα). Давайте разделим каждую часть числителя на 2cosα:

• (cosα / (2cosα)) + (cos3α / (2cosα)) = (1/2) + (cos3α / (2cosα)).

Таким образом, первая часть выражения упрощается до:

• (1/2) + (cos3α / (2cosα)).
2. Теперь разберемся с cos3α:

Используем формулу для косинуса тройного угла:

• cos3α = 4cos³α - 3cosα.

Подставим это в наше выражение:

• cos3α / (2cosα) = (4cos³α - 3cosα) / (2cosα) = (4cos²α - 3) / 2.
3. Теперь подставим это обратно в выражение:

Мы имеем:

• (1/2) + (4cos²α - 3) / 2.

Объединим дроби:

• ((1 + 4cos²α - 3) / 2) = (4cos²α - 2) / 2 = 2cos²α - 1.
4. Теперь добавим 2sin²α:

Заменим sin²α с помощью основной тригонометрической тождества: sin²α = 1 - cos²α:

• 2sin²α = 2(1 - cos²α) = 2 - 2cos²α.
5. Сложим полученные результаты:

Теперь у нас есть:

• (2cos²α - 1) + (2 - 2cos²α).

Сложив, получаем:

• 2cos²α - 1 + 2 - 2cos²α = 1.

Таким образом, окончательный результат упрощения выражения: 1.