Как можно упростить следующее выражение, применяя разность косинусов?

1. cos(п/4-b) - cos(п/4+b)
2. cos^2(a-п/4) - cos^2(a+п/4)

Алгебра 11 класс Тригонометрические преобразования Упрощение выражения разность косинусов алгебра 11 класс cos(п/4-b) cos(п/4+b) cos^2(a-п/4) cos^2(a+п/4) Новый

Для упрощения выражения cos(п/4 - b) - cos(п/4 + b) мы можем использовать формулу разности косинусов:

cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

В нашем случае:

• A = п/4 - b
• B = п/4 + b

Теперь найдем (A + B) / 2 и (A - B) / 2:

• (A + B) / 2 = ((п/4 - b) + (п/4 + b)) / 2 = (п/2) / 2 = п/4
• (A - B) / 2 = ((п/4 - b) - (п/4 + b)) / 2 = (-2b) / 2 = -b

Теперь подставим эти значения в формулу:

cos(п/4 - b) - cos(п/4 + b) = -2 * sin(п/4) * sin(-b)

Зная, что sin(-x) = -sin(x), получаем:

cos(п/4 - b) - cos(п/4 + b) = -2 * sin(п/4) * (-sin(b)) = 2 * sin(п/4) * sin(b)

Поскольку sin(п/4) = √2/2, то:

2 * sin(п/4) * sin(b) = 2 * (√2/2) * sin(b) = √2 * sin(b)

Теперь перейдем ко второму выражению cos^2(a - п/4) - cos^2(a + п/4). Мы также можем использовать формулу разности квадратов:

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

В нашем случае:

• x = cos(a - п/4)
• y = cos(a + п/4)

Таким образом:

cos^2(a - п/4) - cos^2(a + п/4) = (cos(a - п/4) - cos(a + п/4))(cos(a - п/4) + cos(a + п/4))

Мы уже знаем, что:

cos(a - п/4) - cos(a + п/4) = -2 * sin((a + a) / 2) * sin(((-п/4 - п/4) / 2)) = -2 * sin(a) * sin(-п/4) = 2 * sin(a) * (√2/2) = √2 * sin(a)

Теперь найдем cos(a - п/4) + cos(a + п/4):

cos(a - п/4) + cos(a + п/4) = 2 * cos((a + a) / 2) * cos(((-п/4 + п/4) / 2)) = 2 * cos(a) * cos(0) = 2 * cos(a)

Теперь подставим все обратно:

cos^2(a - п/4) - cos^2(a + п/4) = (√2 * sin(a))(2 * cos(a)) = 2√2 * sin(a) * cos(a)

Таким образом, мы упростили оба выражения:

• cos(п/4 - b) - cos(п/4 + b) = √2 * sin(b)
• cos^2(a - п/4) - cos^2(a + п/4) = 2√2 * sin(a) * cos(a)