Как можно упростить следующее выражение: tg^2 a + sin^2 a - 1/cos^2 a?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции tg^2 a sin^2 a cos^2 a математические преобразования Новый

Чтобы упростить выражение tg^2 a + sin^2 a - 1/cos^2 a, давайте вспомним основные тригонометрические соотношения и свойства.

1. Начнем с определения тангенса:

• tg a = sin a / cos a

Следовательно, tg^2 a = (sin a / cos a)^2 = sin^2 a / cos^2 a.

2. Теперь подставим это в наше выражение:

• tg^2 a + sin^2 a - 1/cos^2 a = sin^2 a / cos^2 a + sin^2 a - 1/cos^2 a

3. Приведем все слагаемые к общему знаменателю, которым будет cos^2 a:

• sin^2 a / cos^2 a + sin^2 a * cos^2 a / cos^2 a - 1/cos^2 a

4. Теперь у нас получится:

• (sin^2 a + sin^2 a * cos^2 a - 1) / cos^2 a

5. Объединим слагаемые в числителе:

• sin^2 a (1 + cos^2 a) - 1

6. Используем основное тригонометрическое тождество sin^2 a + cos^2 a = 1 для упрощения:

• 1 + cos^2 a = 1 + (1 - sin^2 a) = 2 - sin^2 a

7. Теперь подставим это обратно в числитель:

• sin^2 a (2 - sin^2 a) - 1

8. Таким образом, мы можем записать наше выражение как:

• (2sin^2 a - sin^4 a - 1) / cos^2 a

9. В итоге, упростив, мы получаем окончательное выражение:

• (sin^2 a (2 - sin^2 a) - 1) / cos^2 a

Таким образом, мы упростили исходное выражение. Если у вас есть вопросы по каждому шагу, не стесняйтесь спрашивать!