Как можно упростить следующие выражения: 1) sin²a * sin2a; 2) (sina + cosa)² - 1; 3) 1 - cos²a; 4) 1 + cos2a; 5) 1 - cos2a; 6) cos2a + 1; 7) 2cosa?

Алгебра 11 класс Тригонометрические преобразования упрощение выражений алгебра 11 класс тригонометрические функции sin2a cos2a формулы тригонометрии алгебраические преобразования Новый

Давайте упростим каждое из предложенных выражений по порядку. Мы будем использовать основные тригонометрические тождества и свойства.

1. sin²a * sin2a

   Используем тождество для синуса двойного угла: sin2a = 2 * sin(a) * cos(a).

   Тогда:

   sin²a * sin2a = sin²a * (2 * sin(a) * cos(a)) = 2 * sin³a * cos(a).

2. (sina + cosa)² - 1

   Раскроем скобки:

   (sina + cosa)² = sin²a + 2 * sin(a) * cos(a) + cos²a.

   Теперь, используя тождество sin²a + cos²a = 1:

   (sina + cosa)² - 1 = (1 + 2 * sin(a) * cos(a)) - 1 = 2 * sin(a) * cos(a).

   И это равно sin2a.

3. 1 - cos²a

   Используем тождество sin²a + cos²a = 1:

   1 - cos²a = sin²a.

4. 1 + cos2a

   Используем тождество для косинуса двойного угла: cos2a = cos²a - sin²a.

   Тогда:

   1 + cos2a = 1 + (cos²a - sin²a) = 1 + cos²a - sin²a = 1 + cos²a - (1 - cos²a) = 2cos²a.

5. 1 - cos2a

   Используем то же тождество для косинуса двойного угла:

   1 - cos2a = 1 - (cos²a - sin²a) = 1 - cos²a + sin²a = sin²a.

6. cos2a + 1

   Как мы уже находили, cos2a = cos²a - sin²a. Следовательно:

   cos2a + 1 = (cos²a - sin²a) + 1 = cos²a - sin²a + 1 = cos²a + (1 - sin²a) = cos²a + cos²a = 2cos²a.

7. 2cosa

   Это выражение уже является простым и не требует упрощения. Оно остается 2cosa.

Таким образом, мы упростили все предложенные выражения, используя тригонометрические тождества и свойства.