Как можно упростить следующие выражения:

1. 2 ( cosα + cos3α ) / 2sin2α + sin4α
2. 1 + sinα - cos2α - sin3α / 2sin²α + sinα - 1

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений упрощение алгебраических выражений алгебра 11 класс тригонометрические функции задачи по алгебре упрощение дробей алгебраические операции Новый

Для упрощения данных выражений мы будем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности.

1. Упрощение выражения: 2 ( cosα + cos3α ) / ( 2sin²α + sin4α )

1. Начнем с числителя: 2 ( cosα + cos3α ).
2. Используем формулу для косинуса тройного угла: cos3α = 4cos³α - 3cosα. Подставим это в числитель:
3. Получаем: 2 ( cosα + 4cos³α - 3cosα ) = 2 ( 4cos³α - 2cosα ) = 8cos³α - 4cosα.
4. Теперь рассмотрим знаменатель: 2sin²α + sin4α.
5. Используем формулу для синуса двойного угла: sin4α = 2sin2αcos2α, и sin2α = 2sinαcosα. Подставим:
6. Получаем: 2sin²α + 2(2sinαcosα)(cos²α - sin²α).
7. Таким образом, знаменатель можно упростить, но это может быть сложнее. Вместо этого попробуем оставить его в исходном виде.
8. Теперь у нас есть: (8cos³α - 4cosα) / (2sin²α + sin4α).
9. Это выражение можно оставить в таком виде, или, если требуется, можно попробовать подставить значения или упростить с помощью числовых значений.

2. Упрощение выражения: (1 + sinα - cos²α - sin3α) / (2sin²α + sinα - 1)

1. Начнем с числителя: 1 + sinα - cos²α - sin3α.
2. Используем тождество: cos²α = 1 - sin²α. Подставим это в числитель:
3. Получаем: 1 + sinα - (1 - sin²α) - sin3α = sin²α + sinα - sin3α.
4. Теперь рассмотрим sin3α: sin3α = 3sinα - 4sin³α. Подставим это:
5. Получаем: sin²α + sinα - (3sinα - 4sin³α) = sin²α - 2sinα + 4sin³α.
6. Теперь перейдем к знаменателю: 2sin²α + sinα - 1.
7. Это выражение можно оставить в таком виде.
8. Теперь у нас есть: (sin²α - 2sinα + 4sin³α) / (2sin²α + sinα - 1).
9. Можно попытаться упростить его, но это может быть сложно. Однако, если мы подберем конкретные значения для α, то сможем получить числовые значения.

Таким образом, оба выражения можно оставить в упрощенном виде, но дальнейшее упрощение может зависеть от конкретных значений угла α или дополнительных условий задачи.