Как можно упростить следующие выражения:

1. 2 ( cosα + cos3α ) / 2sin2α + sin4α
2. 1 + sinα - cos2α - sin3α / 2sin²α + sinα - 1?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений упрощение алгебраических выражений алгебра 11 класс тригонометрические функции задачи по алгебре математические выражения Новый

Чтобы упростить данные выражения, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности.

Первое выражение: 2 ( cosα + cos3α ) / ( 2sin²α + sin4α )

1. Сначала упростим числитель: 2 ( cosα + cos3α ).
2. С учетом формулы для косинуса тройного угла, cos3α = 4cos³α - 3cosα, можно записать:
3. cosα + cos3α = cosα + (4cos³α - 3cosα) = 4cos³α - 2cosα.
4. Таким образом, числитель становится: 2(4cos³α - 2cosα) = 8cos³α - 4cosα.
5. Теперь упростим знаменатель: 2sin²α + sin4α.
6. Используем формулу для синуса четверного угла: sin4α = 2sin²(2α) = 2(2sinαcosα)² = 8sin²αcos²α.
7. Тогда знаменатель можно записать как: 2sin²α + 8sin²αcos²α = 2sin²α(1 + 4cos²α).
8. Теперь подставляем обратно в выражение:
9. (8cos³α - 4cosα) / (2sin²α(1 + 4cos²α)).
10. Упрощаем: 4cosα(2cos²α - 1) / (2sin²α(1 + 4cos²α)).
11. Итак, окончательное упрощенное выражение:
12. 2cosα(2cos²α - 1) / (sin²α(1 + 4cos²α)).

Второе выражение: (1 + sinα - cos²α - sin³α) / (2sin²α + sinα - 1)

1. Начнем с числителя: 1 + sinα - cos²α - sin³α.
2. Используем тождество: cos²α = 1 - sin²α, тогда:
3. 1 + sinα - (1 - sin²α) - sin³α = sin²α + sinα - sin³α.
4. Выносим sinα за скобки: sinα(sinα + 1 - sin²α) = sinα(1 + sinα - sin²α).
5. Теперь упростим знаменатель: 2sin²α + sinα - 1.
6. Здесь мы просто оставим его в таком виде.
7. Теперь подставляем обратно в выражение:
8. sinα(1 + sinα - sin²α) / (2sin²α + sinα - 1).
9. Мы видим, что в числителе можно оставить так, а в знаменателе упростить не получится без дополнительных значений.
10. Таким образом, окончательное упрощенное выражение:
11. sinα(1 + sinα - sin²α) / (2sin²α + sinα - 1).

Таким образом, оба выражения были упрощены. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить какие-то моменты, не стесняйтесь спрашивать!