Как можно упростить выражение (1 + tg^2a)cos^4a + sin^2a?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos^4a sin^2a tg^2a математические преобразования Новый

Чтобы упростить выражение (1 + tg²a)cos⁴a + sin²a, давайте сначала вспомним некоторые тригонометрические тождества.

Шаг 1: Используем тождество для тангенса.

Мы знаем, что тангенс можно выразить через синус и косинус:

• tg a = sin a / cos a
• tg² a = sin² a / cos² a

Таким образом, мы можем заменить tg²a в нашем выражении:

(1 + tg²a) = (1 + sin²a / cos²a) = (cos²a + sin²a) / cos²a

Согласно основному тригонометрическому тождеству, мы знаем, что:

• sin²a + cos²a = 1

Поэтому:

(1 + tg²a) = 1 / cos²a

Шаг 2: Подставим это обратно в выражение.

Теперь подставим это в наше исходное выражение:

(1 + tg²a)cos⁴a + sin²a = (1 / cos²a) * cos⁴a + sin²a

Шаг 3: Упростим выражение.

Умножив (1 / cos²a) на cos⁴a, мы получаем:

cos²a + sin²a

Теперь снова применим основное тригонометрическое тождество:

cos²a + sin²a = 1

Шаг 4: Запишем окончательный ответ.

Таким образом, мы упростили исходное выражение до:

1