Как можно упростить выражение 2*cos^2(α) - 1*tan^2(α)?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos^2(α) tan^2(α) математические преобразования Новый

Для упрощения выражения 2*cos^2(α) - 1*tan^2(α) мы можем использовать тригонометрические тождества. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Вспомним определение тангенса:

   tan(α) = sin(α) / cos(α). Тогда tan^2(α) = sin^2(α) / cos^2(α).

2. Подставим tan^2(α) в наше выражение:

   2*cos^2(α) - 1*tan^2(α) = 2*cos^2(α) - sin^2(α) / cos^2(α).

3. Упростим выражение:

   Теперь мы можем привести выражение к общему знаменателю:

   • Общий знаменатель будет cos^2(α).
   • Тогда 2*cos^2(α) можно записать как 2*cos^4(α) / cos^2(α).
   • Теперь выражение выглядит так: (2*cos^4(α) - sin^2(α)) / cos^2(α).
4. Используем тригонометрическое тождество:

   Помним, что sin^2(α) + cos^2(α) = 1. Отсюда sin^2(α) = 1 - cos^2(α).

5. Подставим это тождество в наше выражение:

   Теперь мы можем заменить sin^2(α): (2*cos^4(α) - (1 - cos^2(α))) / cos^2(α).

   Это упрощается до (2*cos^4(α) - 1 + cos^2(α)) / cos^2(α).

6. Соберем подобные слагаемые:

   Получаем (2*cos^4(α) + cos^2(α) - 1) / cos^2(α).

7. Финальное упрощение:

   Теперь у нас есть выражение в виде дроби. В зависимости от дальнейших требований, можно остановиться на этом этапе или продолжить упрощение, если это необходимо.

Таким образом, мы упростили выражение 2*cos^2(α) - tan^2(α) до (2*cos^4(α) + cos^2(α) - 1) / cos^2(α).