Как можно упростить выражение 3cos(п/2-a)*sin(a- п/2)+tg(3п/2-a)*sin(п-a)*cos(3п/2+a)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические преобразования Упрощение выражения алгебра Тригонометрия формулы математические операции Новый

Давайте упростим данное выражение шаг за шагом. Начнем с разбора каждого из его компонентов.

1. Упрощение первой части: 3cos(п/2-a)*sin(a- п/2)

Мы знаем, что:

• cos(п/2 - a) = sin(a) (по формуле приведения)
• sin(a - п/2) = -cos(a) (по формуле приведения)

Подставим эти значения в первую часть:

3cos(п/2 - a) * sin(a - п/2) = 3 * sin(a) * (-cos(a)) = -3sin(a)cos(a)

2. Упрощение второй части: tg(3п/2-a)sin(п-a)cos(3п/2+a)

Здесь мы также применим формулы приведения:

• tg(3п/2 - a) = -cot(a) (поскольку tg(3п/2) = 0 и cot(a) = 1/tg(a))
• sin(п - a) = sin(a) (по свойству синуса)
• cos(3п/2 + a) = -sin(a) (по формуле приведения)

Теперь подставим эти значения во вторую часть:

tg(3п/2 - a) * sin(п - a) * cos(3п/2 + a) = -cot(a) * sin(a) * (-sin(a)) = cot(a) * sin^2(a)

3. Объединение обеих частей

Теперь мы можем объединить обе части:

Общая форма будет выглядеть так:

-3sin(a)cos(a) + cot(a)sin^2(a)

4. Приведение к общему знаменателю

Так как cot(a) = cos(a)/sin(a), мы можем переписать вторую часть:

cot(a) * sin^2(a) = (cos(a)/sin(a)) * sin^2(a) = cos(a) * sin(a)

Теперь у нас есть:

-3sin(a)cos(a) + cos(a)sin(a) = -2sin(a)cos(a)

5. Итоговое упрощение

Таким образом, окончательно мы получаем:

-2sin(a)cos(a)

Или, используя формулу двойного угла, это можно записать как:

-sin(2a)

Таким образом, мы упростили данное выражение до:

-sin(2a)