Как можно упростить выражение и вычислить его значение:

1. cos^2(a) + ctg^2(a) + sin^2(a) при a = π/6
2. cos^2(a) + tg^2(a) * ctg^2(a) + sin^2(a) при a = π/3

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства упрощение выражений алгебра 11 класс вычисление значений тригонометрические функции cos^2 sin^2 tg^2 ctg^2 π/6 π/3 Новый

Для упрощения выражений и вычисления их значений при заданных углах, давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности.

1. Упрощение и вычисление первого выражения:

Первое выражение: cos^2(a) + ctg^2(a) + sin^2(a).

Подставляем a = π/6:

• cos(π/6) = √3/2, тогда cos^2(π/6) = (√3/2)^2 = 3/4.
• sin(π/6) = 1/2, тогда sin^2(π/6) = (1/2)^2 = 1/4.
• ctg(π/6) = 1/tg(π/6) = 1/(sin(π/6)/cos(π/6)) = (cos(π/6)/sin(π/6)) = (√3/2)/(1/2) = √3, тогда ctg^2(π/6) = (√3)^2 = 3.

Теперь подставим все значения в выражение:

• cos^2(π/6) + ctg^2(π/6) + sin^2(π/6) = 3/4 + 3 + 1/4.

Сложим все части:

• 3/4 + 1/4 = 1.
• 1 + 3 = 4.

Таким образом, значение первого выражения при a = π/6 равно 4.

2. Упрощение и вычисление второго выражения:

Второе выражение: cos^2(a) + tg^2(a) * ctg^2(a) + sin^2(a).

Подставляем a = π/3:

• cos(π/3) = 1/2, тогда cos^2(π/3) = (1/2)^2 = 1/4.
• sin(π/3) = √3/2, тогда sin^2(π/3) = (√3/2)^2 = 3/4.
• tg(π/3) = sin(π/3)/cos(π/3) = (√3/2)/(1/2) = √3, тогда tg^2(π/3) = (√3)^2 = 3.
• ctg(π/3) = 1/tg(π/3) = 1/√3, тогда ctg^2(π/3) = (1/√3)^2 = 1/3.

Теперь подставим все значения в выражение:

• cos^2(π/3) + tg^2(π/3) * ctg^2(π/3) + sin^2(π/3) = 1/4 + 3 * (1/3) + 3/4.

Упрощаем:

• 3 * (1/3) = 1.
• Теперь складываем: 1/4 + 1 + 3/4 = 1/4 + 4/4 = 5/4.

Таким образом, значение второго выражения при a = π/3 равно 5/4.

Итак, результаты:

• Первое выражение при a = π/6 равно 4.
• Второе выражение при a = π/3 равно 5/4.