Как можно упростить выражение sin 325 - sin 55, делённое на cos 325 + cos 55?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс sin и cos тригонометрические функции математические выражения Новый

Чтобы упростить выражение (sin 325 - sin 55) / (cos 325 + cos 55), мы можем воспользоваться формулами для разности и суммы синусов и косинусов.

Сначала заметим, что 325 градусов можно представить как 360 градусов минус 35 градусов. То есть:

• sin 325 = sin(360 - 35) = -sin 35
• cos 325 = cos(360 - 35) = cos 35

Теперь подставим эти значения в наше выражение:

(-sin 35 - sin 55) / (cos 35 + cos 55)

Теперь упростим числитель. Мы можем вынести минус за скобки:

= - (sin 35 + sin 55) / (cos 35 + cos 55)

Теперь воспользуемся формулами для суммы синусов и косинусов:

• sin A + sin B = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)
• cos A + cos B = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

В нашем случае:

• A = 35, B = 55
• A + B = 90, A - B = -20

Теперь подставим это в формулы:

sin 35 + sin 55 = 2 * sin(90 / 2) * cos(-20 / 2) = 2 * sin(45) * cos(-10)

cos 35 + cos 55 = 2 * cos(90 / 2) * cos(-20 / 2) = 2 * cos(45) * cos(-10)

Так как sin(45) = cos(45) = √2 / 2, мы можем подставить это значение:

Теперь подставим это в выражение:

= - (2 * (√2 / 2) * cos(10)) / (2 * (√2 / 2) * cos(10))

Здесь мы видим, что 2 * (√2 / 2) * cos(10) в числителе и знаменателе сокращаются:

= -1

Таким образом, мы получили, что выражение (sin 325 - sin 55) / (cos 325 + cos 55) упрощается до -1.