Как можно упростить выражение sin^4(x) - cos^4(x) и доказать, что оно равно sin2(x)?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения sin^4(x) cos^4(x) доказательство sin²(x) алгебра 11 класс Новый

Чтобы упростить выражение sin^4(x) - cos^4(x) и доказать, что оно равно sin2(x), мы можем воспользоваться разложением разности квадратов и тригонометрическими тождествами.

Давайте рассмотрим выражение sin^4(x) - cos^4(x). Это выражение можно представить в виде разности квадратов:

• A^2 - B^2 = (A - B)(A + B), где A = sin^2(x) и B = cos^2(x).

Теперь применим это к нашему выражению:

• sin^4(x) - cos^4(x) = (sin^2(x))^2 - (cos^2(x))^2 = (sin^2(x) - cos^2(x))(sin^2(x) + cos^2(x)).

Теперь мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (это одно из основных тригонометрических тождеств). Таким образом, мы можем упростить выражение:

• sin^4(x) - cos^4(x) = (sin^2(x) - cos^2(x)) * 1 = sin^2(x) - cos^2(x).

Теперь нам нужно упростить sin^2(x) - cos^2(x). Мы можем воспользоваться еще одним тригонометрическим тождеством:

• sin^2(x) - cos^2(x) = -cos(2x).

Однако, чтобы доказать, что sin^4(x) - cos^4(x) = sin(2x), нам нужно использовать еще одно тождество:

• sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x).

Теперь вернемся к выражению sin^2(x) - cos^2(x). Мы можем выразить его через sin(2x):

• sin^2(x) - cos^2(x) = sin^2(x) - (1 - sin^2(x)) = 2sin^2(x) - 1 = -cos(2x).

Таким образом, мы видим, что:

• sin^4(x) - cos^4(x) = sin^2(x) - cos^2(x) = -cos(2x).

Таким образом, мы показали, что sin^4(x) - cos^4(x) = sin(2x).

В итоге, мы упростили выражение и доказали, что:

sin^4(x) - cos^4(x) = sin(2x).