Как можно упростить выражение (sin80 + sin10) * (cos80 - cos10)?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции sin и cos математические выражения Новый

Чтобы упростить выражение (sin80 + sin10) * (cos80 - cos10), мы можем использовать некоторые тригонометрические тождества. Давайте рассмотрим шаги упрощения:

1. Применение формул суммы и разности: Мы можем использовать формулы для суммы и разности синусов и косинусов:
• sin(a) + sin(b) = 2 * sin((a + b)/2) * cos((a - b)/2)
• cos(a) - cos(b) = -2 * sin((a + b)/2) * sin((a - b)/2)
2. Применение формул к нашему выражению: В нашем случае a = 80 и b = 10. Подставляем в формулы:
• sin80 + sin10 = 2 * sin((80 + 10)/2) * cos((80 - 10)/2) = 2 * sin(45) * cos(35)
• cos80 - cos10 = -2 * sin((80 + 10)/2) * sin((80 - 10)/2) = -2 * sin(45) * sin(35)
3. Подстановка в исходное выражение: Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
• (sin80 + sin10) * (cos80 - cos10) = (2 * sin(45) * cos(35)) * (-2 * sin(45) * sin(35))
4. Упрощение: Умножим выражение:
• = -4 * sin(45)^2 * cos(35) * sin(35)
5. Использование значения sin(45): Знаем, что sin(45) = √2/2, подставим это значение:
• = -4 * (√2/2)^2 * cos(35) * sin(35)
• = -4 * (2/4) * cos(35) * sin(35)
• = -2 * cos(35) * sin(35)
6. Применение формулы синуса двойного угла: Существует тождество: sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x). Таким образом:
• = -sin(70), где 70 = 2 * 35.

Таким образом, мы упростили выражение (sin80 + sin10) * (cos80 - cos10) до -sin(70).