Как можно упростить выражение (tgx + ctgx)(1 + cosx)(1 - cosx)?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции tgx ctgx cosX математические выражения алгебраические операции Новый

Чтобы упростить выражение (tgx + ctgx)(1 + cosx)(1 - cosx), давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Упрощение выражения (1 + cosx)(1 - cosx)

Сначала заметим, что (1 + cosx)(1 - cosx) является разностью квадратов:

• (1 + cosx)(1 - cosx) = 1^2 - (cosx)^2 = 1 - cos^2x.

Согласно тригонометрическим тождествам, мы знаем, что 1 - cos^2x = sin^2x. Таким образом:

• (1 + cosx)(1 - cosx) = sin^2x.

Шаг 2: Подстановка в исходное выражение

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

• (tgx + ctgx)(1 + cosx)(1 - cosx) = (tgx + ctgx) * sin^2x.

Шаг 3: Упрощение tgx + ctgx

Теперь упростим tgx + ctgx. Мы знаем, что:

• tgx = sinx/cosx,
• ctgx = cosx/sinx.

Таким образом, tgx + ctgx можно записать как:

• tgx + ctgx = (sinx/cosx) + (cosx/sinx).

Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель, который будет равен sinx * cosx:

• tgx + ctgx = (sin^2x + cos^2x) / (sinx * cosx).

По известному тригонометрическому тождеству sin^2x + cos^2x = 1, мы получаем:

• tgx + ctgx = 1 / (sinx * cosx).

Шаг 4: Подстановка обратно

Теперь подставим это значение обратно в наше выражение:

• (tgx + ctgx) * sin^2x = (1 / (sinx * cosx)) * sin^2x.

Упростим это выражение:

• (1 / (sinx * cosx)) * sin^2x = sinx / cosx = tgx.

Итог

Таким образом, мы упростили исходное выражение:

• (tgx + ctgx)(1 + cosx)(1 - cosx) = tgx.