Как можно вычислить модуль и аргумент комплексного числа:

1. -1+5i
2. cos (П/3) + i sin (3П/4)

Помогите, кто знает!

Алгебра 11 класс Комплексные числа модуль комплексного числа аргумент комплексного числа вычисление модуля вычисление аргумента алгебра 11 класс комплексные числа примеры комплексных чисел Новый

Чтобы вычислить модуль и аргумент комплексного числа, давайте рассмотрим оба числа по отдельности.

1. Для комплексного числа -1 + 5i:

• Модуль: Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле |z| = √(a² + b²), где a - действительная часть, а b - мнимая часть.
• В нашем случае a = -1 и b = 5. Подставим значения в формулу:
• |-1 + 5i| = √((-1)² + (5)²) = √(1 + 25) = √26.

Таким образом, модуль числа -1 + 5i равен √26.

• Аргумент: Аргумент комплексного числа вычисляется с помощью формулы arg(z) = arctan(b/a), но нужно учитывать, в какой четверти находится число.
• В нашем случае a = -1 и b = 5, что помещает нас во вторую четверть (так как действительная часть отрицательная, а мнимая положительная).
• Вторая четверть требует добавления π к углу, вычисленному с помощью arctan:
• arg(-1 + 5i) = π + arctan(5 / -1) = π + arctan(-5).
• Значение arctan(-5) можно вычислить как -π/2 (это приближенное значение), поэтому:
• arg(-1 + 5i) = π + (-π/2) = π/2.

Таким образом, аргумент числа -1 + 5i равен 2.5 (или 5π/4 в радианах).

2. Для комплексного числа cos(π/3) + i sin(3π/4):

• Это число можно записать в алгебраической форме как z = r(cos(θ) + i sin(θ)), где r - модуль, θ - аргумент.
• Значение cos(π/3) = 1/2 и sin(3π/4) = √2/2.
• Таким образом, z = (1/2) + i(√2/2).

Теперь вычислим модуль и аргумент этого комплексного числа.

• Модуль: |z| = √((1/2)² + (√2/2)²) = √(1/4 + 2/4) = √(3/4) = √3/2.
• Аргумент: θ = π/3, так как мы уже имеем значения косинуса и синуса для этого угла.

Таким образом, для комплексного числа cos(π/3) + i sin(3π/4) модуль равен √3/2, а аргумент равен π/3.

Теперь у вас есть модуль и аргумент для обоих комплексных чисел!