Как можно вычислить неопределенный интеграл выражения (3/x^7 - 7/cos^2x)dx и можешь ли рассказать о процессе решения этого задания?

Алгебра 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл вычисление интеграла интеграл (3/x^7 - 7/cos^2x)dx процесс решения интеграла алгебра 11 класс Новый

Для вычисления неопределенного интеграла выражения (3/x^7 - 7/cos^2(x))dx, давайте разберем его на две части и интегрируем каждую по отдельности.

Шаг 1: Разделим интеграл

Мы можем записать интеграл следующим образом:

∫(3/x^7 - 7/cos^2(x))dx = ∫(3/x^7)dx - ∫(7/cos^2(x))dx

Шаг 2: Интегрируем первую часть

Рассмотрим первый интеграл ∫(3/x^7)dx. Мы можем вынести константу 3 за знак интеграла:

∫(3/x^7)dx = 3∫(1/x^7)dx

Интеграл ∫(1/x^n)dx равен -1/(n-1)x^(n-1) + C, где C - произвольная константа интегрирования, а n ≠ 1.

В нашем случае n = 7, поэтому:

• ∫(1/x^7)dx = -1/(7-1)x^(7-1) = -1/6x^6

Таким образом:

• 3∫(1/x^7)dx = 3 * (-1/6)x^6 = -1/2x^6

Шаг 3: Интегрируем вторую часть

Теперь перейдем ко второму интегралу ∫(7/cos^2(x))dx. Мы знаем, что 1/cos^2(x) = sec^2(x), поэтому:

∫(7/cos^2(x))dx = 7∫sec^2(x)dx

Интеграл sec^2(x)dx равен tan(x) + C. Таким образом:

• 7∫sec^2(x)dx = 7tan(x)

Шаг 4: Объединяем результаты

Теперь мы можем объединить результаты интегрирования обеих частей:

∫(3/x^7 - 7/cos^2(x))dx = -1/2x^6 - 7tan(x) + C

Ответ:

Итак, неопределенный интеграл выражения (3/x^7 - 7/cos^2(x))dx равен:

-1/2x^6 - 7tan(x) + C, где C - произвольная константа интегрирования.