Как вычислить интеграл ∫ (2^x + 5^x) / 10^x dx?

Алгебра 11 класс Неопределённые интегралы вычислить интеграл интеграл (2^x + 5^x) / 10^x интегралы в алгебре 11 класс Новый

Для вычисления интеграла ∫ (2^x + 5^x) / 10^x dx, начнем с упрощения выражения под интегралом.

Мы можем переписать интеграл следующим образом:

∫ (2^x / 10^x + 5^x / 10^x) dx.

Теперь заметим, что 10^x = (2 * 5)^x = 2^x * 5^x. Таким образом, мы можем переписать каждую из дробей:

∫ (2^x / (2^x * 5^x) + 5^x / (2^x * 5^x)) dx = ∫ (1 / 5^x + 1 / 2^x) dx.

Теперь у нас есть два простых интеграла:

∫ (1 / 5^x) dx + ∫ (1 / 2^x) dx.

Теперь вычислим каждый из этих интегралов по отдельности. Для интеграла ∫ (1 / a^x) dx, где a - константа, мы можем использовать формулу:

∫ (1 / a^x) dx = - (1 / (ln(a) * a^x)) + C.

Применим эту формулу к каждому из интегралов:

1. Для первого интеграла:
∫ (1 / 5^x) dx = - (1 / (ln(5) * 5^x)) + C1.
2. Для второго интеграла:
∫ (1 / 2^x) dx = - (1 / (ln(2) * 2^x)) + C2.

Теперь объединим результаты:

∫ (2^x + 5^x) / 10^x dx = - (1 / (ln(5) * 5^x)) - (1 / (ln(2) * 2^x)) + C.

Таким образом, окончательный ответ:

∫ (2^x + 5^x) / 10^x dx = - (1 / (ln(5) * 5^x)) - (1 / (ln(2) * 2^x)) + C.