Как найти интеграл функции arctg(3x)dx?

Алгебра 11 класс Неопределённые интегралы интеграл функции arctg(3x) вычисление интеграла методы интегрирования алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти интеграл функции arctg(3x)dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Выбор u и dv: Для метода интегрирования по частям нам нужно выбрать две функции: одну для u и другую для dv. В данном случае мы можем выбрать:
• u = arctg(3x)
• dv = dx
2. Нахождение производной u и интеграла dv: Теперь найдем производную u и интеграл dv:
• du = (1 / (1 + (3x)²)) * 3 dx = 3 / (1 + 9x²) dx
• v = x
3. Применение формулы интегрирования по частям: Формула интегрирования по частям выглядит так:
• ∫u dv = u*v - ∫v du
4. Подставляем найденные значения: Теперь подставим наши значения в формулу:
• ∫arctg(3x) dx = arctg(3x) * x - ∫x * (3 / (1 + 9x²)) dx
5. Упрощение второго интеграла: Теперь нам нужно решить второй интеграл:
• ∫(3x / (1 + 9x²)) dx
6. Используем замену переменной: Для этого интеграла мы можем использовать замену переменной:
• t = 1 + 9x², dt = 18x dx, dx = dt / (18x)
• Когда x = 0, t = 1. Когда x = x, t = 1 + 9x².
7. Подставляем в интеграл: Теперь подставим это в интеграл:
• ∫(3x / (1 + 9x²)) dx = (1/6) ln|1 + 9x²| + C
8. Итак, окончательный результат: Подставив все обратно, получаем:
• ∫arctg(3x) dx = x * arctg(3x) - (1/6) ln|1 + 9x²| + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования. Таким образом, мы нашли интеграл функции arctg(3x)dx.