Как можно вычислить предел lim(x->0) ((sin(3x)) / (sqrt(x+2) - sqrt(2))?

Пожалуйста, помогите!!

Алгебра 11 класс Пределы функций предел lim sin 3x sqrt x 2 алгебра 11 класс вычисление предела Новый

Для вычисления предела lim(x->0) ((sin(3x)) / (sqrt(x+2) - sqrt(2)), мы можем использовать несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Подстановка предела

Сначала подставим x = 0 в выражение:

• Числитель: sin(3*0) = sin(0) = 0.
• Знаменатель: sqrt(0+2) - sqrt(2) = sqrt(2) - sqrt(2) = 0.

Получается форма 0/0, что указывает на необходимость дальнейшего анализа.

Шаг 2: Упрощение знаменателя

Чтобы избавиться от этой неопределенности, мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя:

Сопряженное выражение к (sqrt(x+2) - sqrt(2)) - это (sqrt(x+2) + sqrt(2)). Умножим и разделим на него:

lim(x->0) ((sin(3x) * (sqrt(x+2) + sqrt(2))) / ((sqrt(x+2) - sqrt(2)) * (sqrt(x+2) + sqrt(2))))

Шаг 3: Применение формулы разности квадратов

Теперь в знаменателе мы можем использовать формулу разности квадратов:

(sqrt(x+2))^2 - (sqrt(2))^2 = (x + 2) - 2 = x.

Таким образом, наш предел можно записать как:

lim(x->0) (sin(3x) * (sqrt(x+2) + sqrt(2))) / x.

Шаг 4: Разделение предела

Теперь мы можем разделить этот предел на два отдельных предела:

lim(x->0) (sin(3x) / x) * lim(x->0) (sqrt(x+2) + sqrt(2)).

Шаг 5: Вычисление пределов

• Первый предел: lim(x->0) (sin(3x) / x) = 3 (по известному пределу sin(x)/x, где мы используем замену 3x вместо x).
• Второй предел: lim(x->0) (sqrt(x+2) + sqrt(2)) = sqrt(0+2) + sqrt(2) = sqrt(2) + sqrt(2) = 2*sqrt(2).

Шаг 6: Итоговое вычисление

Теперь мы можем объединить оба предела:

3 * (2 * sqrt(2)) = 6 * sqrt(2).

Таким образом, предел lim(x->0) ((sin(3x)) / (sqrt(x+2) - sqrt(2)) равен 6 * sqrt(2).