Как можно вычислить предел выражения lim (sin(7x) - sin(3x)) / (4x) при x, стремящемся к 0?

Алгебра 11 класс Пределы функций предел выражения вычисление предела lim (sin(7x) - sin(3x)) предел при x стремящемся к 0 алгебра 11 класс

Для вычисления предела выражения lim (sin(7x) - sin(3x)) / (4x) при x, стремящемся к 0, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами пределов и тригонометрическими формулами.

Шаги для вычисления предела:

1. Использование формулы разности синусов: Мы можем применить формулу разности синусов, которая гласит, что sin(a) - sin(b) = 2 * cos((a+b)/2) * sin((a-b)/2). В нашем случае a = 7x и b = 3x.
2. Применение формулы: Подставляем значения в формулу:
   • sin(7x) - sin(3x) = 2 * cos((7x + 3x)/2) * sin((7x - 3x)/2)
   • Это упрощается до: 2 * cos(5x) * sin(2x)
3. Подстановка в предел: Теперь подставим это выражение в предел:
   • lim (sin(7x) - sin(3x)) / (4x) = lim (2 * cos(5x) * sin(2x)) / (4x)
   • Это можно упростить до: lim (cos(5x) * sin(2x)) / (2x)
4. Использование предела sin(x)/x: Мы знаем, что lim (sin(kx)/x) = k при x, стремящемся к 0. В нашем случае, если мы выделим sin(2x), то получим:
   • lim (cos(5x) * sin(2x)) / (2x) = lim (cos(5x) * (sin(2x)/(2x)))
5. Вычисление пределов: Теперь мы можем вычислить пределы по отдельности:
   • lim (cos(5x)) при x, стремящемся к 0 = cos(0) = 1
   • lim (sin(2x)/(2x)) при x, стремящемся к 0 = 1
6. Итоговый предел: Теперь подставим полученные значения в предел:
   • lim (cos(5x) * (sin(2x)/(2x))) = 1 * 1 = 1

Таким образом, предел выражения lim (sin(7x) - sin(3x)) / (4x) при x, стремящемся к 0 равен 1.

Чтобы вычислить предел выражения lim (sin(7x) - sin(3x)) / (4x) при x, стремящемся к 0, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами пределов и производными. Давайте разберем решение по шагам.

1. Используем формулу разности синусов:

   Сначала вспомним, что разность синусов можно представить через произведение:

   sin(a) - sin(b) = 2 * cos((a + b)/2) * sin((a - b)/2).

   В нашем случае a = 7x и b = 3x. Подставим это в формулу:

   sin(7x) - sin(3x) = 2 * cos((7x + 3x)/2) * sin((7x - 3x)/2) = 2 * cos(5x) * sin(2x).

2. Подставляем в предел:

   Теперь подставим это выражение в наш предел:

   lim (sin(7x) - sin(3x)) / (4x) = lim (2 * cos(5x) * sin(2x)) / (4x).

   Это можно упростить:

   lim (2 * cos(5x) * sin(2x)) / (4x) = lim (cos(5x) * sin(2x)) / (2x).

3. Используем известный предел:

   Мы знаем, что lim (sin(kx)) / (kx) = 1 при k стремящемся к 0. В нашем случае k = 2, поэтому:

   lim (sin(2x)) / (2x) = 1.

4. Теперь подставляем предел:

   Таким образом, мы можем записать:

   lim (cos(5x) * (sin(2x) / (2x))) = lim (cos(5x)) * 1 = cos(0) = 1, когда x стремится к 0.

5. Итоговый предел:

   Теперь подставим полученные результаты в наш предел:

   lim (sin(7x) - sin(3x)) / (4x) = 1 / 2 = 1/2.

Таким образом, предел выражения lim (sin(7x) - sin(3x)) / (4x) при x, стремящемся к 0, равен 1/2.