Как можно вычислить значения x и y, используя данное выражение: x(2 + i)² + y(2 - i)² = 9 - 8i, где x и y принадлежат множеству действительных чисел R?

Алгебра 11 класс Комплексные числа алгебра 11 класс вычисление значений x и y комплексные числа уравнения с комплексными числами решения алгебраических уравнений Новый

Для решения данного уравнения, давайте сначала упростим выражение с комплексными числами. Мы имеем:

x(2 + i)² + y(2 - i)² = 9 - 8i

Первым делом, вычислим квадратные выражения:

1. (2 + i)² = 2² + 2 * 2 * i + i² = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i
2. (2 - i)² = 2² - 2 * 2 * i + i² = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i

Теперь подставим эти результаты в исходное уравнение:

x(3 + 4i) + y(3 - 4i) = 9 - 8i

Раскроем скобки:

3x + 4xi + 3y - 4yi = 9 - 8i

Теперь объединим действительные и мнимые части:

(3x + 3y) + (4x - 4y)i = 9 - 8i

Теперь мы можем приравнять действительные и мнимые части обеих сторон уравнения:

• Действительная часть: 3x + 3y = 9
• Мнимая часть: 4x - 4y = -8

Теперь у нас есть система уравнений:

1. 3x + 3y = 9
2. 4x - 4y = -8

Упростим первое уравнение, разделив его на 3:

x + y = 3

Теперь упростим второе уравнение, разделив его на 4:

x - y = -2

Теперь у нас есть новая система уравнений:

1. x + y = 3
2. x - y = -2

Теперь мы можем решить эту систему. Сложим оба уравнения:

(x + y) + (x - y) = 3 - 2

Это дает нам:

2x = 1

Следовательно, x = 1/2.

Теперь подставим значение x в одно из уравнений, например, в первое:

(1/2) + y = 3

Отсюда:

y = 3 - 1/2 = 2.5

Таким образом, мы нашли значения:

x = 1/2

y = 2.5