Как найти 1 + (1/2) * sin(2a), делённое на cos^3(a) - sin^3(a), если известно, что tg(a) = 3/4 и 0 < a < π/2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их свойства алгебра 11 класс тригонометрические функции tg(a) = 3/4 Sin(2a) cos^3(a) sin^3(a) деление выражений решение уравнений Новый

Чтобы найти значение выражения 1 + (1/2) * sin(2a), делённого на cos^3(a) - sin^3(a), при условии, что tg(a) = 3/4, начнём с вычисления необходимых тригонометрических функций.

• Шаг 1: Находим sin(a) и cos(a).

Из условия tg(a) = 3/4 мы можем выразить sin(a) и cos(a):

1. Пусть sin(a) = 3k и cos(a) = 4k для некоторого k.
2. По теореме Пифагора: sin^2(a) + cos^2(a) = 1.
3. Подставляем: (3k)^2 + (4k)^2 = 1.
4. Это даёт: 9k^2 + 16k^2 = 1, что упрощается до 25k^2 = 1.
5. Следовательно, k = 1/5.
6. Теперь находим sin(a) и cos(a): sin(a) = 3/5 и cos(a) = 4/5.
• Шаг 2: Находим sin(2a).

Используем формулу: sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a).

1. Подставляем значения: sin(2a) = 2 * (3/5) * (4/5) = 24/25.
• Шаг 3: Находим 1 + (1/2) * sin(2a).

Теперь подставим найденное значение sin(2a) в выражение:

1. 1 + (1/2) * (24/25) = 1 + 12/25 = 25/25 + 12/25 = 37/25.
• Шаг 4: Находим cos^3(a) - sin^3(a).

Используем формулы для кубов:

1. cos^3(a) = (4/5)^3 = 64/125.
2. sin^3(a) = (3/5)^3 = 27/125.
3. Теперь подставим в выражение: cos^3(a) - sin^3(a) = 64/125 - 27/125 = 37/125.
• Шаг 5: Находим итоговое значение.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

1. (37/25) / (37/125).
2. Это равно: (37/25) * (125/37) = 125/25 = 5.

Таким образом, итоговое значение выражения равно 5.