Как найти корни уравнения (1+tg^2x)sinx-tg^2x+1=0 в интервале (-3;2)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения корни уравнения алгебра tg^2x sinx интервал уравнение решение уравнения математический анализ алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения (1 + tg^2(x))sin(x) - tg^2(x) + 1 = 0, начнем с упрощения выражения. Напомним, что tg(x) = sin(x)/cos(x), и tg^2(x) = sin^2(x)/cos^2(x). Заменим tg^2(x) в уравнении:

1. Запишем уравнение с заменой:

(1 + sin^2(x)/cos^2(x))sin(x) - sin^2(x)/cos^2(x) + 1 = 0

2. Умножим всё на cos^2(x), чтобы избавиться от дробей:

cos^2(x) * (1 + sin^2(x)/cos^2(x))sin(x) - sin^2(x) + cos^2(x) = 0

или

(cos^2(x) + sin^2(x))sin(x) - sin^2(x) + cos^2(x) = 0

Так как cos^2(x) + sin^2(x) = 1, упростим уравнение:

sin(x) - sin^2(x) + cos^2(x) = 0

или

sin(x) - sin^2(x) + (1 - sin^2(x)) = 0

что упрощается до:

sin(x) - 2sin^2(x) + 1 = 0

3. Перепишем уравнение в стандартной форме:

2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0

4. Теперь решим это квадратное уравнение относительно sin(x) с помощью формулы корней:

sin(x) = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = -1, c = -1.

5. Подставляем значения:

• D = (-1)² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9
• sin(x) = (1 ± √9) / 4 = (1 ± 3) / 4

6. Находим два корня:

• sin(x) = 1 и sin(x) = -1/2

7. Теперь найдем значения x для каждого корня:

• Для sin(x) = 1: x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.
• Для sin(x) = -1/2: x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ.

8. Теперь подберем значения k так, чтобы x находились в интервале (-3; 2):

• Для sin(x) = 1: x = π/2 ≈ 1.57 (при k = 0).
• Для sin(x) = -1/2: x = 7π/6 ≈ 3.67 (при k = 0) - не подходит, k = -1: x = 7π/6 - 2π ≈ -2.62; x = 11π/6 ≈ 5.76 (при k = 0) - не подходит, k = -1: x = 11π/6 - 2π ≈ -0.42.

9. Таким образом, корни уравнения в интервале (-3; 2):

• x = π/2 ≈ 1.57
• x = 7π/6 - 2π ≈ -2.62
• x = 11π/6 - 2π ≈ -0.42

Итак, окончательные корни уравнения в заданном интервале: x ≈ 1.57, x ≈ -2.62, x ≈ -0.42.