Как найти квадратные корни числа √15 + 8i?

Алгебра 11 класс Комплексные числа квадратные корни число √15 + 8i алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти квадратные корни комплексного числа, в данном случае √15 + 8i, мы будем использовать метод, основанный на представлении комплексного числа в полярной форме. Давайте рассмотрим шаги, которые необходимо выполнить.

1. Определите модуль комплексного числа.

   Модуль комплексного числа a + bi вычисляется по формуле:

   |z| = √(a² + b²)

   В нашем случае a = √15 и b = 8. Подставим эти значения:

   |z| = √((√15)² + (8)²) = √(15 + 64) = √79.

2. Найдите аргумент комплексного числа.

   Аргумент можно найти с помощью формулы:

   arg(z) = arctan(b/a).

   Подставим наши значения:

   arg(z) = arctan(8/√15).

   Вы можете использовать калькулятор, чтобы найти это значение.

3. Запишите комплексное число в полярной форме.

   Теперь, зная модуль и аргумент, мы можем записать z в полярной форме:

   z = |z|(cos(arg(z)) + i sin(arg(z))).

4. Найдите квадратные корни.

   Квадратные корни комплексного числа можно найти по формуле:

   √z = √|z|(cos(arg(z)/2) + i sin(arg(z)/2)).

   Мы уже знаем модуль |z| = √79. Теперь делим аргумент на 2:

   arg(√z) = arg(z)/2 = arctan(8/√15)/2.

   Теперь подставляем это в формулу для нахождения квадратных корней:

   √z = √(√79)(cos(arg(z)/2) + i sin(arg(z)/2)).

5. Получите два корня.

   Поскольку у комплексных чисел есть два квадратных корня, не забудьте добавить π к аргументу для получения второго корня:

   √z2 = √(√79)(cos(arg(z)/2 + π) + i sin(arg(z)/2 + π)).

Таким образом, вы получите два квадратных корня для числа √15 + 8i. Не забудьте подставить значения и вычислить конкретные числовые значения для корней, если это необходимо.