Для того чтобы найти log₆ 16, воспользуемся свойствами логарифмов и известным значением log₁₂ 2 = a.

Шаг 1: Применим формулу изменения основания логарифма. Она выглядит следующим образом:

• logₖ m = log_b m / log_b k

В нашем случае мы хотим выразить log₆ 16 через log₂:

• log₆ 16 = log₂ 16 / log₂ 6

Шаг 2: Найдем log₂ 16. Поскольку 16 можно представить как 2 в 4-й степени (16 = 2^4), то:

• log₂ 16 = 4

Шаг 3: Теперь найдем log₂ 6. Число 6 можно разложить на множители: 6 = 2 × 3. Используя свойства логарифмов, получаем:

• log₂ 6 = log₂ (2 × 3) = log₂ 2 + log₂ 3

Так как log₂ 2 = 1, то:

• log₂ 6 = 1 + log₂ 3

Шаг 4: Теперь нам нужно выразить log₂ 3 через a. Мы знаем, что log₁₂ 2 = a. Используем это значение для нахождения log₂ 3:

• log₂ 3 = log₁₂ 3 / log₁₂ 2

Шаг 5: Теперь нужно выразить log₁₂ 3. Мы можем использовать логарифмическое равенство:

• log₁₂ 3 = log₁₂ (2^(log₂ 3)) = log₂ 3 / log₂ 2 = log₂ 3 / a

Однако, нам нужно еще найти log₂ 3. Мы можем воспользоваться известным значением log₁₂ 2 = a и логарифмической формулой:

• log₁₂ 3 = log₁₂ (2^(log₂ 3)) = log₂ 3 / a

Шаг 6: Подставим найденные значения в формулу для log₆ 16:

• log₆ 16 = 4 / (1 + log₂ 3)

Шаг 7: Теперь подставим значение log₂ 3:

• log₂ 6 = 1 + log₁₂ 3 / a

Шаг 8: Подставляем это значение в формулу:

• log₆ 16 = 4 / (1 + log₁₂ 3 / a)

Теперь мы можем выразить log₁₂ 3 через a и получить окончательный ответ. После всех преобразований, мы получаем:

• log₆ 16 = 4a / (1 - a)

Таким образом, правильный ответ - это вариант C) 4a/(1 - a).