Как найти максимальные и минимальные значения функции у = 1/2 * tg x на отрезке [-π; -3π/4]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций максимальные значения функции минимальные значения функции у = 1/2 * tg x отрезок [-π; -3π/4] алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти максимальные и минимальные значения функции y = 1/2 * tg(x) на отрезке [-π; -3π/4], нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение области определения функции

Функция тангенс tg(x) имеет разрывы в точках, где cos(x) = 0. Это происходит в точках (2k + 1) * π/2, где k - целое число. На нашем отрезке [-π; -3π/4] разрыв функции будет в точке -π/2. Поэтому мы должны учитывать это при анализе.

Шаг 2: Нахождение значений функции на границах отрезка

1. Подставим x = -π:
• y = 1/2 * tg(-π) = 1/2 * 0 = 0.
2. Подставим x = -3π/4:
• y = 1/2 * tg(-3π/4) = 1/2 * 1 = 1/2.

Шаг 3: Анализ поведения функции на интервале

Теперь нам нужно проверить, как функция ведет себя на интервале между -π и -3π/4, а также вблизи разрыва в -π/2.

• На интервале (-π, -π/2) функция tg(x) убывает от 0 до -∞, следовательно, y убывает от 0 до -∞.
• На интервале (-π/2, -3π/4) функция tg(x) возрастает от +∞ до 1.

Шаг 4: Сравнение значений

Теперь у нас есть следующие значения:

• y(-π) = 0
• y(-3π/4) = 1/2
• На интервале (-π, -π/2) y стремится к -∞.
• На интервале (-π/2, -3π/4) y стремится к +∞.

Шаг 5: Вывод

Таким образом, минимальное значение функции на отрезке [-π; -3π/4] стремится к -∞, а максимальное значение равно 1/2, которое достигается в точке x = -3π/4.

Ответ: Минимальное значение: -∞; Максимальное значение: 1/2.