Как найти минимальное значение выражения 13x^2 + 10y^2 + 5z^2, если x, y, z ∈ (0; ∞) и выполняются условия: x * y ≥ 2, x * z ≥ 3, y * z ≥ 6?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций минимальное значение выражение 13x^2 + 10y^2 + 5z^2 условия x * y ≥ 2 x * z ≥ 3 y * z ≥ 6 алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти минимальное значение выражения 13x² + 10y² + 5z² при заданных условиях, мы будем использовать метод множителей Лагранжа. Этот метод позволяет находить экстремумы функции при наличии ограничений.

Шаги решения:

1. Определим целевую функцию и ограничения:
• Целевая функция: f(x, y, z) = 13x² + 10y² + 5z²
• Ограничения:
• g1(x, y) = xy - 2 ≥ 0
• g2(x, z) = xz - 3 ≥ 0
• g3(y, z) = yz - 6 ≥ 0
2. Составим функцию Лагранжа:

Функция Лагранжа будет выглядеть так:

L(x, y, z, λ1, λ2, λ3) = 13x² + 10y² + 5z² + λ1(2 - xy) + λ2(3 - xz) + λ3(6 - yz)
3. Найдем частные производные и приравняем их к нулю:
• ∂L/∂x = 26x - λ1y - λ2z = 0
• ∂L/∂y = 20y - λ1x - λ3z = 0
• ∂L/∂z = 10z - λ2x - λ3y = 0
• ∂L/∂λ1 = 2 - xy = 0
• ∂L/∂λ2 = 3 - xz = 0
• ∂L/∂λ3 = 6 - yz = 0
4. Решим систему уравнений:

Из уравнений можно выразить λ1, λ2 и λ3 через x, y и z. Затем подставим эти выражения обратно в уравнения для x, y и z.

5. Подбор значений:

Для упрощения можно попробовать подобрать значения для x, y и z, которые удовлетворяют ограничениям:

• Например, пусть x = 2, y = 1, z = 6/1 = 6.
• Проверим условия:
• xy = 2 * 1 = 2 ≥ 2 (выполняется)
• xz = 2 * 6 = 12 ≥ 3 (выполняется)
• yz = 1 * 6 = 6 ≥ 6 (выполняется)
6. Подставим найденные значения в целевую функцию:

Теперь подставим x = 2, y = 1, z = 6 в целевую функцию:

f(2, 1, 6) = 13(2)² + 10(1)² + 5(6)² = 52 + 10 + 180 = 242
7. Таким образом, минимальное значение выражения:

Минимальное значение выражения 13x² + 10y² + 5z² при заданных условиях равно 242.