Как найти наибольшее и наименьшее значения функции

g(x)=cos x -1/3 cos 3 x

на отрезке [0; П/2]?

СРОЧНО!

Алгебра 11 класс Экстремумы функций алгебра 11 класс наибольшее значение наименьшее значение функция g(x) cos x cos 3x отрезок [0; П/2] анализ функции экстремумы тригонометрические функции математический анализ поиск значений Новый

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции g(x) = cos x - (1/3) cos 3x на отрезке [0; π/2] мы будем использовать метод поиска критических точек и проверку значений функции на границах отрезка.

Первый шаг — найдем производную функции g(x) и приравняем её к нулю. Это позволит нам найти критические точки:

• g(x) = cos x - (1/3) cos 3x
• g'(x) = -sin x + sin 3x

Теперь приравняем производную к нулю:

• sin 3x - sin x = 0

Это уравнение можно преобразовать, используя формулу разности синусов:

• sin α - sin β = 2 sin((α - β)/2) cos((α + β)/2)

Применяя эту формулу, мы получаем:

• 2 sin x cos 2x = 0

Теперь мы решим это уравнение, рассматривая два случая:

1. Случай 1: sin x = 0
• Решения: x = πn, где n ∈ Z
• На отрезке [0; π/2] единственное решение: x = 0
2. Случай 2: cos 2x = 0
• Решение: 2x = (π/2) + πk, где k ∈ Z
• Отсюда: x = (π/4) + (π/2)k
• На отрезке [0; π/2] единственное решение: x = π/4

Теперь у нас есть две критические точки: x = 0 и x = π/4. Также не забудем проверить значение функции на границе отрезка, т.е. в точке x = π/2.

Посчитаем значения функции g(x) в этих точках:

• g(0) = cos(0) - (1/3)cos(0) = 1 - (1/3) = 2/3
• g(π/4) = cos(π/4) - (1/3)cos(3π/4) = (√2/2) + (√2/6) = (3√2 + √2) / 6 = (4√2) / 6 = (2√2) / 3
• g(π/2) = cos(π/2) - (1/3)cos(3π/2) = 0 + (1/3) = 1/3

Теперь сравним все найденные значения:

• g(0) = 2/3
• g(π/4) = (2√2) / 3
• g(π/2) = 1/3

Из этих значений видно, что:

• Наибольшее значение функции на отрезке [0; π/2]: max = g(π/4) = (2√2) / 3
• Наименьшее значение функции: min = g(π/2) = 1/3

Таким образом, наибольшее значение функции g(x) на отрезке [0; π/2] равно (2√2) / 3, а наименьшее значение равно 1/3.