Как найти точки экстремума функции y=xe^-x?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций экстремум функции точки экстремума производная функции y=xe^-x алгебра 11 класс анализ функции нахождение экстремума критические точки максимумы и минимумы математический анализ Новый

Чтобы найти точки экстремума функции y = xe^(-x), следуем определённым шагам. Экстремумы функции – это максимумы и минимумы, которые можно найти с помощью производной. Рассмотрим процесс более подробно.

1. Найдите первую производную функции.

   Для начала нам нужно найти производную функции y по x. Используем правило произведения, так как функция состоит из двух множителей: x и e^(-x).

   Первая производная y' будет равна:

   • y' = (1 * e^(-x)) + (x * (-e^(-x)))
   • y' = e^(-x) - xe^(-x)
   • y' = e^(-x)(1 - x)
2. Найдите критические точки.

   Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы решаем уравнение:

   e^(-x)(1 - x) = 0

   Поскольку e^(-x) никогда не равна нулю, мы решаем:

   • 1 - x = 0
   • x = 1

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 1.

3. Определите характер критической точки.

   Чтобы понять, является ли найденная критическая точка максимумом или минимумом, необходимо исследовать знак производной в окрестности этой точки. Мы можем использовать тест первого производного:

   • Выберем значение x < 1, например, x = 0:
   • y'(0) = e^(0)(1 - 0) = 1 > 0 (положительный)
   • Выберем значение x > 1, например, x = 2:
   • y'(2) = e^(-2)(1 - 2) = e^(-2)(-1) < 0 (отрицательный)

   Таким образом, мы видим, что производная положительна до x = 1 и отрицательна после. Это означает, что в точке x = 1 функция имеет максимум.

4. Найдите значение функции в точке экстремума.

   Теперь мы можем найти значение функции в точке x = 1:

   • y(1) = 1 * e^(-1) = e^(-1) ≈ 0.3679

Таким образом, мы нашли, что функция y = xe^(-x) имеет максимум в точке (1, e^(-1)). Это и есть точка экстремума данной функции.