Помогите!

Какое наименьшее значение функции y=e^(2x)-6e^(x)+7 можно найти на отрезке [0;2]?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций алгебра 11 класс наименьшее значение функции y=e^(2x)-6e^(x)+7 отрезок [0;2] математический анализ функции экстремумы графики функций решение задач Новый

Привет! Давай разберемся с этой функцией вместе.

У нас есть функция y = e^(2x) - 6e^(x) + 7. Чтобы найти наименьшее значение на отрезке [0; 2], нам нужно сделать несколько шагов:

1. Найти производную функции. Это поможет нам определить критические точки, где функция может принимать минимальные или максимальные значения.
2. Проверить критические точки и границы отрезка. Нам нужно будет подставить значение функции в критические точки и на границах отрезка (в 0 и 2).

Давай начнем с поиска производной:

Производная y' = 2e^(2x) - 6e^(x).

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

2e^(2x) - 6e^(x) = 0.

Можно вынести e^(x) за скобки:

e^(x)(2e^(x) - 6) = 0.

Это у нас дает две возможности:

• e^(x) = 0 (это невозможно, так как экспонента всегда положительна),
• 2e^(x) - 6 = 0, отсюда e^(x) = 3, значит x = ln(3).

Теперь, когда мы нашли критическую точку x = ln(3), проверим, попадает ли она в наш отрезок [0; 2]. Поскольку ln(3) примерно 1.1, она в отрезке.

Теперь подставим значения в функцию:

• y(0) = e^(0) - 6e^(0) + 7 = 1 - 6 + 7 = 2,
• y(ln(3)) = e^(2ln(3)) - 6e^(ln(3)) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2,
• y(2) = e^(4) - 6e^(2) + 7.

Теперь посчитаем y(2):

y(2) = e^(4) - 6e^(2) + 7. Это значение можно приблизительно оценить, но скорее всего оно больше -2.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [0; 2] будет -2, которое мы получаем при x = ln(3).

Надеюсь, это помогло! Если есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать!