Как найти наибольшее и наименьшее значения функции y=3sinxcosx+1?

Алгебра 11 класс Исследование функций и нахождение экстремумов наибольшее значение наименьшее значение функция y=3sinxcosx+1 алгебра 11 класс тригонометрические функции максимумы и минимумы анализ функции решение задач математический анализ Новый

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 3sin(x)cos(x) + 1, мы можем воспользоваться тригонометрическими преобразованиями и свойствами функций синуса и косинуса. Давайте разберем это пошагово:

1. Преобразование произведения синуса и косинуса:

   Сначала упростим выражение 3sin(x)cos(x). Для этого воспользуемся тригонометрической формулой:

   sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

   Следовательно, sin(x)cos(x) = 1/2 * sin(2x).

   Таким образом, 3sin(x)cos(x) можно переписать как:

   3 * (1/2) * sin(2x) = (3/2)sin(2x).

2. Переписывание исходной функции:

   Теперь наша функция принимает вид:

   y = (3/2)sin(2x) + 1.

3. Анализ функции:

   Функция y = (3/2)sin(2x) + 1 является тригонометрической функцией, основанной на синусе. Мы знаем, что функция sin(2x) колеблется в пределах от -1 до 1.

   Умножив sin(2x) на (3/2), диапазон значений изменится на от -(3/2) до (3/2).

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений:
   • Наибольшее значение sin(2x) равно 1. Подставим это в выражение:

   y_max = (3/2) * 1 + 1 = 3/2 + 1 = 5/2.

   • Наименьшее значение sin(2x) равно -1. Подставим это в выражение:

   y_min = (3/2) * (-1) + 1 = -3/2 + 1 = -1/2.

Таким образом, наибольшее значение функции y = 3sin(x)cos(x) + 1 равно 5/2, а наименьшее значение равно -1/2.