Вопрос: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке: y=x^3+3x^2-72x+90 на отрезке [ -5;5 ].

Алгебра 11 класс Исследование функций и нахождение экстремумов алгебра 11 класс наибольшее значение наименьшее значение функция промежуток отрезок y=x^3+3x^2-72x+90 анализ функции экстремумы математический анализ производная критические точки интервал график функции Новый

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = x^3 + 3x^2 - 72x + 90 на отрезке [-5; 5], сначала нам нужно найти производную функции.

Шаг 1: Находим производную функции.

Производная функции y по x будет равна:

• y' = (x^3 + 3x^2 - 72x + 90)' = 3x^2 + 6x - 72.

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю.

Теперь мы ищем критические точки, приравняв производную к нулю:

• 3x^2 + 6x - 72 = 0.

Упростим уравнение:

• 3(x^2 + 2x - 24) = 0,
• x^2 + 2x - 24 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100.
• Тогда корни уравнения:
• x = (-b ± √D) / 2a = (-2 ± 10) / 2.

Это дает два корня:

• x₁ = 4 и x₂ = -6.

Обратите внимание, что корень x = -6 не входит в наш интервал [-5; 5], поэтому мы его не рассматриваем.

Шаг 3: Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.

Теперь нам нужно найти значения функции y в точках -5, 4 и 5.

• y(-5) = (-5)^3 + 3 * (-5)^2 - 72 * (-5) + 90 = -125 + 75 + 360 + 90 = 400.
• y(4) = 4^3 + 3 * 4^2 - 72 * 4 + 90 = 64 + 48 - 288 + 90 = -86.
• y(5) = 5^3 + 3 * 5^2 - 72 * 5 + 90 = 125 + 75 - 360 + 90 = -70.

Шаг 4: Сравниваем полученные значения.

Теперь у нас есть три значения функции:

• y(-5) = 400,
• y(4) = -86,
• y(5) = -70.

Наибольшее значение функции на отрезке [-5; 5] равно 400 (в точке x = -5), а наименьшее значение равно -86 (в точке x = 4).

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [-5; 5] равно 400, наименьшее значение -86.