Как найти неопределенный интеграл функции sin в кубе умножить на x dx?

Алгебра 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл интеграл функции sin в кубе x dx алгебра 11 класс

Чтобы найти неопределенный интеграл функции sin в кубе, умноженной на x, dx, мы будем использовать метод интегрирования по частям. Интеграл, который нам нужно решить, выглядит так:

∫ x * sin³(x) dx

Шаг 1: Определим части для интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫ u dv = uv - ∫ v du

В нашем случае мы можем выбрать:

• u = x (тогда du = dx)
• dv = sin³(x) dx

Шаг 2: Найдем v, интегрируя dv.

Чтобы найти v, нам нужно интегрировать sin³(x). Для этого мы воспользуемся тригонометрической идентичностью:

sin³(x) = (sin(x))(1 - cos²(x))

Это можно разложить как:

sin³(x) = sin(x) - sin(x)cos²(x)

Теперь мы можем интегрировать sin³(x) через два интеграла:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x)
• ∫ sin(x)cos²(x) dx

Для интеграла ∫ sin(x)cos²(x) dx мы можем использовать замену:

t = cos(x), dt = -sin(x) dx

Тогда интеграл станет:

∫ -t² dt = -t³/3 = -cos³(x)/3

Таким образом, мы получаем:

∫ sin³(x) dx = -cos(x) + cos³(x)/3 + C

Шаг 3: Подставляем v обратно в формулу интегрирования по частям.

Теперь подставим найденные значения в формулу:

∫ x * sin³(x) dx = x * (-cos(x) + cos³(x)/3) - ∫ (-cos(x) + cos³(x)/3) dx

Шаг 4: Интегрируем оставшийся интеграл.

Теперь нужно решить ∫ (-cos(x) + cos³(x)/3) dx:

• ∫ -cos(x) dx = -sin(x)
• ∫ cos³(x)/3 dx = (1/3) * ∫ cos³(x) dx

Мы уже нашли ∫ cos³(x) dx, поэтому подставим его значение.

Шаг 5: Соберем все части вместе.

После подстановки и упрощения мы получим окончательный результат интеграла:

∫ x * sin³(x) dx = -x * cos(x) + x * cos³(x)/3 + sin(x) + C

Таким образом, мы нашли неопределенный интеграл функции sin³(x) * x dx.

Привет! Чтобы найти неопределенный интеграл функции sin в кубе умножить на x, давай разберемся по шагам.

У нас есть интеграл:

∫ sin³(x) * x dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так:

∫ u dv = u*v - ∫ v du

Теперь давай выберем u и dv:

• u = x (тогда du = dx)
• dv = sin³(x) dx

Теперь нам нужно найти v, то есть интеграл dv. Интеграл sin³(x) можно найти, используя тригонометрические идентичности. Мы можем выразить sin³(x) через sin(x) и cos(x):

sin³(x) = sin(x) * (1 - cos²(x))

Теперь давай интегрируем sin³(x) по частям:

• Сначала найдем v:
• v = ∫ sin³(x) dx

Это может быть немного сложнее, но в итоге мы получим:

v = -1/3 * (3sin(x) - sin(3x)) (это можно найти через подстановку или таблицы интегралов).

Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям:

∫ sin³(x) * x dx = x * v - ∫ v * du

После подстановки и упрощения, ты получишь финальный ответ. Не забудь добавить константу интегрирования C в конце!

Если что-то не понятно, не стесняйся спрашивать! Удачи с интегралами!