Чтобы найти первообразную функции f(x) = 1 / (3x + 1),мы можем воспользоваться методом замены переменной. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Определим функцию: Мы имеем f(x) = 1 / (3x + 1).
2. Выберем замену: Для упрощения интегрирования, сделаем замену переменной. Пусть u = 3x + 1. Тогда производная u по x равна du/dx = 3.
3. Выразим dx через du: Из уравнения du/dx = 3 следует, что dx = du / 3.
4. Заменим переменные в интеграле: Теперь мы можем переписать интеграл:
   • Интеграл от f(x) будет равен:
   • ∫ f(x) dx = ∫ (1 / u) * (du / 3).
5. Упростим интеграл: Мы можем вынести 1/3 за знак интеграла:
   • ∫ f(x) dx = (1/3) ∫ (1 / u) du.
6. Интегрируем: Интеграл от 1/u равен ln|u|:
   • ∫ (1 / u) du = ln|u| + C, где C - произвольная постоянная.
7. Подставляем обратно u: Теперь заменим u обратно на 3x + 1:
   • ∫ f(x) dx = (1/3) * (ln|3x + 1|) + C.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 1 / (3x + 1) равна:

F(x) = (1/3) * ln|3x + 1| + C.