Как найти первообразную для функции f(x) = 1/x^2, если график этой первообразной проходит через точку М(1;1)? Помогите решить, пожалуйста.

Алгебра 11 класс Неопределенный интеграл первообразная функция f(x) = 1/x^2 график точка М(1;1) решение задачи алгебра Новый

Для нахождения первообразной функции f(x) = 1/x^2, мы начнем с того, что найдем неопределенный интеграл этой функции.

Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл.

Интеграл функции f(x) = 1/x^2 можно записать в следующем виде:

∫(1/x^2) dx = ∫x^(-2) dx

Теперь применим правило интегрирования:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

В нашем случае n = -2, поэтому:

∫x^(-2) dx = (x^(-1))/(-1) + C = -1/x + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 2: Запишем первообразную.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 1/x^2 имеет вид:

F(x) = -1/x + C.

Шаг 3: Найдем константу C, используя точку М(1;1).

График первообразной проходит через точку М(1;1), что означает, что когда x = 1, F(x) = 1.

Подставим x = 1 в выражение для F(x):

F(1) = -1/1 + C = 1.

Это упрощается до:

-1 + C = 1.

Теперь решим это уравнение для C:

C = 1 + 1 = 2.

Шаг 4: Запишем окончательный ответ.

Теперь мы можем записать окончательную форму первообразной:

F(x) = -1/x + 2.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 1/x^2, проходящая через точку М(1;1), равна:

F(x) = -1/x + 2.