Чтобы найти первообразную для функции y = -2cos(x) + 5sin(2x), нужно выполнить несколько шагов. Первообразная функции — это функция, производная которой равна данной функции. Давайте разберем процесс пошагово:

1. Найти первообразную для каждого слагаемого функции:
   • Первообразная от -2cos(x) равна -2sin(x). Это потому, что производная от sin(x) равна cos(x), и с учетом коэффициента -2, мы получаем -2sin(x).
   • Первообразная от 5sin(2x) равна -5/2cos(2x). Здесь важно помнить, что производная от cos(2x) равна -2sin(2x), поэтому, чтобы учесть коэффициент 5, мы делим его на 2, получая -5/2cos(2x).
2. Составить общую формулу первообразной:

   Теперь мы можем записать общую первообразную как:

   F(x) = -2sin(x) - (5/2)cos(2x) + C

   где C — произвольная постоянная интегрирования.

3. Определить постоянную интегрирования C:

   Нам дано, что график первообразной проходит через точку A(π/2; 5/2). Это означает, что при x = π/2 значение F(x) равно 5/2.

   Подставим эти значения в уравнение:

   • F(π/2) = -2sin(π/2) - (5/2)cos(π) + C = 5/2
   • Подставим значения тригонометрических функций: sin(π/2) = 1 и cos(π) = -1.
   • -2(1) - (5/2)(-1) + C = 5/2
   • Упростим: -2 + 5/2 + C = 5/2
   • -4/2 + 5/2 + C = 5/2
   • 1/2 + C = 5/2
   • C = 5/2 - 1/2 = 4/2 = 2
4. Записать окончательное выражение первообразной:

   Подставив найденное значение C в уравнение, мы получаем окончательное выражение для первообразной:

   F(x) = -2sin(x) - (5/2)cos(2x) + 2

Таким образом, первообразная функции y = -2cos(x) + 5sin(2x), график которой проходит через точку A(π/2; 5/2), имеет вид:

F(x) = -2sin(x) - (5/2)cos(2x) + 2