Как найти площадь области, ограниченной линиями: а) y = 0.5x^2, y = 0, x = 3; б) y = 0.5x^2, y = 0.5, x = 2?

Алгебра 11 класс Интегралы и площади фигур площадь области ограниченные линии алгебра 11 класс интегралы графики функций y = 0.5x^2 нахождение площади задачи по алгебре методы интегрирования примеры интегралов Новый

Чтобы найти площадь области, ограниченной заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

а) Найти площадь области, ограниченной линиями: y = 0.5x^2, y = 0, x = 3.

1. Сначала определим, где пересекаются графики функции y = 0.5x^2 и линии y = 0. Это происходит, когда 0.5x^2 = 0, что дает x = 0.
2. Таким образом, область, ограниченная графиком, будет находиться между x = 0 и x = 3.
3. Теперь необходимо найти площадь под кривой. Площадь можно найти с помощью интеграла:
4. Площадь S = ∫[0, 3] (0.5x^2 - 0) dx.
5. Вычислим интеграл:
• Интеграл от 0.5x^2 равен (0.5/3)x^3 = (1/6)x^3.
• Теперь подставим пределы интегрирования:
• S = (1/6)(3^3) - (1/6)(0^3) = (1/6)(27) - 0 = 4.5.
6. Таким образом, площадь области равна 4.5.

б) Найти площадь области, ограниченной линиями: y = 0.5x^2, y = 0.5, x = 2.

1. Сначала найдем, где пересекаются графики функции y = 0.5x^2 и линии y = 0.5. Для этого приравняем их:
2. 0.5x^2 = 0.5, что дает x^2 = 1, а значит x = ±1. Однако, так как у нас есть ограничение x = 2, будем рассматривать только x = 1.
3. Теперь определим пределы интегрирования: область будет находиться между x = 0 и x = 2.
4. Площадь S = ∫[0, 2] (0.5x^2 - 0.5) dx.
5. Вычислим интеграл:
• Интеграл от 0.5x^2 равен (0.5/3)x^3 = (1/6)x^3.
• Интеграл от 0.5 равен 0.5x.
• Теперь подставим пределы интегрирования:
• S = [(1/6)(2^3) - 0.5(2)] - [(1/6)(0^3) - 0.5(0)] = [(1/6)(8) - 1] - 0 = (4/3 - 1) = (4/3 - 3/3) = 1/3.
6. Таким образом, площадь области равна 1/3.

В итоге, мы нашли площади для обеих областей: в первом случае площадь равна 4.5, а во втором — 1/3.