Как найти площадь области, ограниченной осью OX, вертикальной прямой x=3, осью OX и кривой y=x^2-4x+5?

Алгебра 11 класс Интегралы и площади фигур площадь области ось OX вертикальная прямая кривая y=x^2-4x+5 интегрирование алгебра 11 класс Новый

Для нахождения площади области, ограниченной осью OX, вертикальной прямой x=3, осью OX и кривой y=x^2-4x+5, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти точки пересечения кривой и оси OX

Сначала определим, где кривая y=x^2-4x+5 пересекает ось OX. Это происходит, когда y=0. Поэтому решим уравнение:

x^2 - 4x + 5 = 0

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*5 = 16 - 20 = -4

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, что означает, что кривая не пересекает ось OX. Следовательно, она всегда находится выше оси OX.

Шаг 2: Найти площадь области

Площадь области, ограниченной кривой, вертикальной прямой и осью OX, можно найти, вычислив интеграл от функции от 0 до 3:

Площадь = ∫(от 0 до 3) (x^2 - 4x + 5) dx

Шаг 3: Вычислить определенный интеграл

Теперь найдем интеграл:

1. Находим первообразную функции x^2 - 4x + 5:
• Первообразная от x^2 = (1/3)x^3
• Первообразная от -4x = -2x^2
• Первообразная от 5 = 5x
2. Таким образом, первообразная будет:

(1/3)x^3 - 2x^2 + 5x

3. Теперь подставляем пределы интегрирования от 0 до 3:

Подставляем x=3:

(1/3)*(3^3) - 2*(3^2) + 5*(3) = (1/3)*27 - 2*9 + 15 = 9 - 18 + 15 = 6

Теперь подставляем x=0:

(1/3)*(0^3) - 2*(0^2) + 5*(0) = 0

Теперь вычтем результаты:

Площадь = 6 - 0 = 6

Шаг 4: Ответ

Таким образом, площадь области, ограниченной осью OX, вертикальной прямой x=3, осью OX и кривой y=x^2-4x+5, равна 6.