Как найти площадь, заключенную между осью Ox и синусоидой y=sin x на интервалах: a) [0; Пи]; б) [0; 2Пи]?

Алгебра 11 класс Интегралы и площади фигур площадь между осью Ox и синусоидой интеграл sin x интервал [0; Пи] интервал [0; 2Пи] алгебра 11 класс Новый

Для нахождения площади, заключенной между осью Ox и графиком функции y = sin x на заданных интервалах, необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем использовать интегрирование для нахождения площади под кривой.

Сначала давайте разберем, как найти площадь для каждого из интервалов:

а) Интервал [0; Пи]

1. Определим функцию. В данном случае это y = sin x.
2. Найдем определенный интеграл от функции на интервале [0; Пи]. Площадь S будет равна:
3. S = ∫(от 0 до Пи) sin x dx
4. Теперь вычислим интеграл. Интеграл от sin x равен -cos x. Подставим пределы интегрирования:
5. S = [-cos x] (от 0 до Пи) = [-cos(Пи) - (-cos(0))]
6. Теперь подставим значения:
7. S = -(-1) - (-1) = 1 - (-1) = 2
8. Таким образом, площадь, заключенная между осью Ox и синусоидой на интервале [0; Пи], равна 2.

б) Интервал [0; 2Пи]

1. Аналогично, определим функцию y = sin x.
2. Найдем определенный интеграл от функции на интервале [0; 2Пи]. Площадь S будет равна:
3. S = ∫(от 0 до 2Пи) sin x dx
4. Вычислим интеграл. Интеграл от sin x равен -cos x. Подставим пределы интегрирования:
5. S = [-cos x] (от 0 до 2Пи) = [-cos(2Пи) - (-cos(0))]
6. Теперь подставим значения:
7. S = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0
8. Однако, площадь под графиком на интервале [0; 2Пи] включает области, где sin x отрицателен. Чтобы найти полную площадь, нужно учитывать, что на интервале [Пи; 2Пи] функция принимает отрицательные значения. Поэтому мы должны рассмотреть абсолютные значения:
9. Площадь S будет равна сумме площадей на интервалах [0; Пи] и [Пи; 2Пи]. Площадь на [Пи; 2Пи] также равна 2, так как это симметричная часть графика:
10. S = 2 + 2 = 4
11. Таким образом, площадь, заключенная между осью Ox и синусоидой на интервале [0; 2Пи], равна 4.

Итак, подводя итог:

• Площадь на интервале [0; Пи] = 2
• Площадь на интервале [0; 2Пи] = 4