Как найти предел функции: lim x→-1 (x²-1/x³+x+2)?

Алгебра 11 класс Пределы функций предел функции лимит алгебра 11 класс x→-1 x²-1 x³+x+2 нахождение предела Новый

Чтобы найти предел функции при x, стремящемся к -1, начнем с подстановки этого значения в функцию:

Функция выглядит так:

(x² - 1) / (x³ + x + 2)

Теперь подставим x = -1:

• В числителе: (-1)² - 1 = 1 - 1 = 0
• В знаменателе: (-1)³ + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0

Мы получили неопределенность 0/0. Это означает, что нам нужно упростить выражение, чтобы найти предел. Для этого мы можем факторизовать числитель и знаменатель.

Числитель x² - 1 можно разложить на множители:

x² - 1 = (x - 1)(x + 1)

Теперь давайте посмотрим на знаменатель x³ + x + 2. Мы можем попробовать найти корни этого многочлена, чтобы понять, можно ли его факторизовать. Подставим x = -1:

• (-1)³ + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0

Таким образом, x = -1 является корнем знаменателя. Это значит, что мы можем разложить знаменатель на множители:

x³ + x + 2 = (x + 1)(Ax² + Bx + C)

Чтобы найти A, B и C, мы можем использовать метод деления многочленов или подставить значения. После деления мы получим:

x³ + x + 2 = (x + 1)(x² - x + 2)

Теперь мы можем подставить это обратно в предел:

lim x→-1 ( (x - 1)(x + 1) ) / ( (x + 1)(x² - x + 2) )

Мы можем сократить (x + 1) в числителе и знаменателе:

lim x→-1 (x - 1) / (x² - x + 2)

Теперь подставим x = -1 в оставшуюся функцию:

• В числителе: -1 - 1 = -2
• В знаменателе: (-1)² - (-1) + 2 = 1 + 1 + 2 = 4

Теперь мы можем вычислить предел:

lim x→-1 (x - 1) / (x² - x + 2) = -2 / 4 = -1/2

Ответ: Предел функции при x, стремящемся к -1, равен -1/2.