Как найти производную функции f(x) = (16 - x^4) / (x^2 - 4)?

Алгебра 11 класс Производные и дифференцирование производная функция алгебра 11 класс f(x) (16 - x^4) (x^2 - 4) нахождение производной правила дифференцирования дробная функция математика анализ функций Новый

Чтобы найти производную функции f(x) = (16 - x^4) / (x^2 - 4), мы воспользуемся правилом дифференцирования дроби. Это правило гласит, что если у нас есть функция в виде дроби u(x)/v(x), то ее производная вычисляется по формуле:

f'(x) = (u'v - uv') / v²

Где:

• u = 16 - x^4 - числитель
• v = x^2 - 4 - знаменатель

Теперь найдем производные u' и v':

1. u' = d(16 - x^4)/dx = 0 - 4x^3 = -4x^3
2. v' = d(x^2 - 4)/dx = 2x

Теперь подставим все найденные значения в формулу для производной:

f'(x) = (u'v - uv') / v²

Подставим значения:

f'(x) = (-4x^3)(x^2 - 4) - (16 - x^4)(2x) / (x^2 - 4)²

Теперь раскроем скобки и упростим числитель:

1. (-4x^3)(x^2 - 4) = -4x^5 + 16x^3
2. (16 - x^4)(2x) = 32x - 2x^5

Теперь объединим все это в числителе:

f'(x) = (-4x^5 + 16x^3) - (32x - 2x^5) / (x^2 - 4)²

Упростим числитель:

f'(x) = (-4x^5 + 2x^5 + 16x^3 - 32x) / (x^2 - 4)²

Это равняется:

f'(x) = (-2x^5 + 16x^3 - 32x) / (x^2 - 4)²

Таким образом, мы нашли производную функции f(x). Она равна:

f'(x) = (-2x^5 + 16x^3 - 32x) / (x^2 - 4)²