Как найти производную функции y=(x-4)(x - 1)² в точке x=4?

Алгебра 11 класс Производные и дифференцирование производная функции нахождение производной алгебра 11 класс y=(x-4)(x-1)² точка x=4 Новый

Чтобы найти производную функции y = (x - 4)(x - 1)² в точке x = 4, следуем следующим шагам:

1. Найдем производную функции y:
• Начнем с того, что функция y является произведением двух функций: u = (x - 4) и v = (x - 1)².
• Используем правило произведения для нахождения производной: (uv)' = u'v + uv'.
2. Найдем производные u и v:
• u = (x - 4) → u' = 1.
• v = (x - 1)² → v' = 2(x - 1) (используем правило степени).
3. Теперь подставим u, v, u' и v' в правило произведения:
• y' = u'v + uv' = 1*(x - 1)² + (x - 4)*2(x - 1).
4. Упростим выражение:
• y' = (x - 1)² + 2(x - 4)(x - 1).
• Теперь раскроем скобки: y' = (x - 1)² + 2(x² - 5x + 4).
• Упрощаем: y' = (x² - 2x + 1) + (2x² - 10x + 8) = 3x² - 12x + 9.

Теперь найдем производную в точке x = 4:

1. Подставляем x = 4 в найденную производную:
• y'(4) = 3(4)² - 12(4) + 9.
• y'(4) = 3(16) - 48 + 9.
• y'(4) = 48 - 48 + 9 = 9.

Ответ: Производная функции y = (x - 4)(x - 1)² в точке x = 4 равна 9.