Как найти решение неравенства (x^2 + 7x + 10)/(x^2 - 4) > 0?

Алгебра 11 класс Неравенства рациональных функций решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с дробями x^2 + 7x + 10 x^2 - 4 математические неравенства методы решения неравенств Новый

Решение неравенства (x^2 + 7x + 10)/(x^2 - 4) > 0 можно разделить на несколько шагов:

Шаг 1: Найти нули числителя и знаменателя

Сначала решим уравнение, где числитель равен нулю:

• x^2 + 7x + 10 = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-7 + 3) / 2 = -2
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-7 - 3) / 2 = -5

Теперь найдем нули знаменателя:

• x^2 - 4 = 0

Это уравнение также можно решить:

• x^2 = 4
• x = ±2

Шаг 2: Определить знаки на интервалах

Теперь у нас есть корни:

• Числитель: x = -2, -5
• Знаменатель: x = 2, -2

Эти значения разделяют числовую ось на пять интервалов:

• (-∞, -5)
• (-5, -2)
• (-2, 2)
• (2, +∞)

Теперь нужно проверить знак выражения (x^2 + 7x + 10)/(x^2 - 4) на каждом из этих интервалов. Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -5), например, x = -6:
• (-6^2 + 7*(-6) + 10) / (-6^2 - 4) = (36 - 42 + 10) / (36 - 4) = 4 / 32 > 0
• Для интервала (-5, -2), например, x = -3:
• (-3^2 + 7*(-3) + 10) / (-3^2 - 4) = (9 - 21 + 10) / (9 - 4) = -2 / 5 < 0
• Для интервала (-2, 2), например, x = 0:
• (0^2 + 7*0 + 10) / (0^2 - 4) = 10 / -4 < 0
• Для интервала (2, +∞), например, x = 3:
• (3^2 + 7*3 + 10) / (3^2 - 4) = (9 + 21 + 10) / (9 - 4) = 40 / 5 > 0

Шаг 3: Составить итоговое решение

Теперь мы можем составить итоговое решение неравенства:

• Знак выражения положителен на интервалах: (-∞, -5) и (2, +∞).
• Значения x = -2 и x = 2 не включаются в решение, так как в этих точках выражение равно нулю или не определено.

Таким образом, окончательное решение неравенства:

x ∈ (-∞, -5) ∪ (2, +∞)