Помогите решить неравенство (x^2 + 3x + 1)/(x - 10) > 0, пожалуйста!

Алгебра 11 класс Неравенства рациональных функций неравенство алгебра 11 класс решение неравенств дробные неравенства математический анализ Новый

Для решения неравенства (x^2 + 3x + 1)/(x - 10) > 0, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте начнем с анализа числителя и знаменателя по отдельности.

Шаг 1: Найдем корни числителя

Числитель - это квадратное уравнение x^2 + 3x + 1. Для нахождения его корней воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 3, c = 1.

• Сначала находим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4*1*1 = 9 - 4 = 5.
• Дискриминант положительный, значит, у нас два различных корня.
• Теперь находим корни: x1 = (-3 + √5)/2 и x2 = (-3 - √5)/2.

Шаг 2: Найдем ноль знаменателя

Знаменатель x - 10 равен нулю, когда x = 10. Это значение также важно для анализа неравенства, так как оно может изменить знак выражения.

Шаг 3: Определим интервалы

Теперь у нас есть три критических точки: x1, x2 и 10. Эти точки разделяют числовую ось на интервалы:

• (-∞, x2)
• (x2, x1)
• (x1, 10)
• (10, +∞)

Шаг 4: Проверим знаки на каждом интервале

Теперь мы проверим знак выражения (x^2 + 3x + 1)/(x - 10) на каждом из интервалов:

1. Для интервала (-∞, x2): выберем, например, x = -4. Подставляем в выражение:
   (-4^2 + 3*(-4) + 1)/(-4 - 10) = (16 - 12 + 1)/(-14) = 5/(-14) < 0.
2. Для интервала (x2, x1): выберем x = -1. Подставляем:
   (-1^2 + 3*(-1) + 1)/(-1 - 10) = (1 - 3 + 1)/(-11) = -1/(-11) > 0.
3. Для интервала (x1, 10): выберем x = 0. Подставляем:
   (0^2 + 3*0 + 1)/(0 - 10) = 1/(-10) < 0.
4. Для интервала (10, +∞): выберем x = 11. Подставляем:
   (11^2 + 3*11 + 1)/(11 - 10) = (121 + 33 + 1)/(1) = 155 > 0.

Шаг 5: Записываем решение

Теперь мы знаем знаки на интервалах:

• (-∞, x2) < 0
• (x2, x1) > 0
• (x1, 10) < 0
• (10, +∞) > 0

Мы ищем, где выражение больше нуля. Это происходит на интервалах (x2, x1) и (10, +∞).

Таким образом, окончательное решение неравенства:

Ответ: (x2, x1) U (10, +∞), где x2 = (-3 - √5)/2 и x1 = (-3 + √5)/2.