Решим неравенство (x^2 - 4) / (2x + 1) < 0 шаг за шагом.

Первым делом, давайте разложим числитель на множители. Числитель x^2 - 4 является разностью квадратов, поэтому мы можем его разложить:

• x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Теперь мы можем переписать неравенство в следующем виде:

(x - 2)(x + 2) / (2x + 1) < 0

Следующий шаг - определить, при каких значениях x дробь (x - 2)(x + 2) / (2x + 1) будет отрицательной. Для этого нужно найти нули числителя и знаменателя.

Нули числителя:

• x - 2 = 0 → x = 2
• x + 2 = 0 → x = -2

Ноль знаменателя:

• 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = -1/2

Теперь у нас есть три критических точки: x = -2, x = -1/2 и x = 2. Эти точки разделяют числовую прямую на интервалы, которые мы будем исследовать:

• (-∞, -2)
• (-2, -1/2)
• (-1/2, 2)
• (2, +∞)

Теперь необходимо выбрать тестовые значения из каждого интервала и подставить их в неравенство, чтобы определить знак дроби в каждом интервале.

1. Интервал (-∞, -2): возьмем, например, x = -3.
• (-3 - 2)(-3 + 2) / (2(-3) + 1) = (-5)(-1) / (-6 + 1) = 5 / -5 = -1 (отрицательное)
2. Интервал (-2, -1/2): возьмем, например, x = -1.
• (-1 - 2)(-1 + 2) / (2(-1) + 1) = (-3)(1) / (-2 + 1) = -3 / -1 = 3 (положительное)
3. Интервал (-1/2, 2): возьмем, например, x = 0.
• (0 - 2)(0 + 2) / (2(0) + 1) = (-2)(2) / (1) = -4 (отрицательное)
4. Интервал (2, +∞): возьмем, например, x = 3.
• (3 - 2)(3 + 2) / (2(3) + 1) = (1)(5) / (6 + 1) = 5 / 7 (положительное)

Теперь мы знаем знаки на каждом интервале:

• (-∞, -2): отрицательное
• (-2, -1/2): положительное
• (-1/2, 2): отрицательное
• (2, +∞): положительное

Мы ищем, где дробь отрицательна. Это происходит на интервалах (-∞, -2) и (-1/2, 2).

Теперь нужно учесть, что в точках x = -2 и x = 2 дробь равна нулю, а в точке x = -1/2 дробь не определена (знаменатель равен нулю). Поэтому:

Ответ на неравенство (x^2 - 4) / (2x + 1) < 0:

x ∈ (-∞, -2) ∪ (-1/2, 2)