Как решить неравенство (х-2)х/(х+1) <= 0?

Алгебра 11 класс Неравенства рациональных функций решение неравенства алгебра 11 класс неравенство (х-2)х/(х+1) <= 0 методы решения неравенств график функции анализ знаков область определения Новый

Чтобы решить неравенство (х-2)х/(х+1) > 0, следуем пошагово:

1. Определим область определения:
   • Деление на ноль недопустимо, поэтому находим, при каком значении х знаменатель равен нулю: х + 1 = 0, отсюда х = -1.
   • Таким образом, область определения: х ≠ -1.
2. Найдем нули числителя:
   • Числитель равен нулю, когда (х - 2)х = 0. Это происходит при:
   • х - 2 = 0, отсюда х = 2;
   • х = 0.
3. Определим знаки выражения:
   • Теперь у нас есть критические точки: х = -1, х = 0 и х = 2.
   • Разобьем числовую прямую на интервалы: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 2), (2, +∞).
4. Проверим знак выражения на каждом интервале:
   • Для интервала (-∞, -1): выберем х = -2. Подставляем в выражение: (х-2)х/(х+1) = (-2-2)(-2)/( -2+1) = (-4)(-2)/(-1) = 8 > 0.
   • Для интервала (-1, 0): выберем х = -0.5. Подставляем: (-0.5-2)(-0.5)/(-0.5+1) = (-2.5)(-0.5)/(0.5) = 2.5 > 0.
   • Для интервала (0, 2): выберем х = 1. Подставляем: (1-2)(1)/(1+1) = (-1)(1)/(2) = -0.5 < 0.
   • Для интервала (2, +∞): выберем х = 3. Подставляем: (3-2)(3)/(3+1) = (1)(3)/(4) = 0.75 > 0.
5. Составим итоговый ответ:
   • Выражение положительно на интервалах: (-∞, -1) и (-1, 0) и (2, +∞).
   • Неравенство не включает нули и точку, где знаменатель равен нулю.

Ответ: х ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 0) ∪ (2, +∞).