Как найти решение уравнения 2 cos x - ctg x - 2 sin x + 1 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos ctg sin уравнения с косинусом алгебраические методы решение тригонометрических уравнений Новый

Для решения уравнения 2 cos x - ctg x - 2 sin x + 1 = 0 мы можем воспользоваться тригонометрическими преобразованиями и свойствами тригонометрических функций. Давайте разберем это пошагово.

1. Перепишем уравнение, используя тригонометрические функции:

Заменим ctg x на cos x / sin x. Уравнение станет:

2 cos x - (cos x / sin x) - 2 sin x + 1 = 0

2. Умножим всё уравнение на sin x:

Умножив на sin x, чтобы избавиться от дроби, получим:

2 sin x * cos x - cos x - 2 sin^2 x + sin x = 0

3. Преобразуем уравнение:

Группируем слагаемые:

(2 sin x * cos x - cos x + sin x) - 2 sin^2 x = 0

Выносим cos x за скобки:

cos x (2 sin x - 1) + sin x - 2 sin^2 x = 0

4. Решим уравнение:

Теперь у нас есть два множителя, и мы можем приравнять каждый из них к нулю:

• Первый множитель: cos x = 0

Это уравнение имеет решения:

x = (2n + 1) * π / 2, где n - целое число.

• Второй множитель: 2 sin x - 1 + sin x - 2 sin^2 x = 0

Преобразуем это уравнение:

2 sin x - 2 sin^2 x + sin x - 1 = 0

Соберем все слагаемые:

-2 sin^2 x + 3 sin x - 1 = 0

Умножим на -1:

2 sin^2 x - 3 sin x + 1 = 0

5. Решим квадратное уравнение:

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

sin x = (3 ± √(3^2 - 4 * 2 * 1)) / (2 * 2)

sin x = (3 ± √(9 - 8)) / 4

sin x = (3 ± 1) / 4

Таким образом, получаем два значения:

• sin x = 1, что дает x = π/2 + 2nπ;
• sin x = 1/2, что дает x = π/6 + 2nπ и x = 5π/6 + 2nπ.

Итак, обобщая, мы получили все решения уравнения:

• x = (2n + 1) * π / 2;
• x = π/6 + 2nπ;
• x = 5π/6 + 2nπ, где n - целое число.

Это и есть все решения данного уравнения. Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!