Как найти решение уравнения 2 cos²x - sinx = -1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс cos2x sinx тригонометрические уравнения методы решения математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение 2 cos²x - sinx = -1, начнем с приведения его к более удобному виду. Напомним, что существует основное тригонометрическое тождество:

cos²x + sin²x = 1.

Из этого тождества мы можем выразить cos²x через sin²x:

cos²x = 1 - sin²x.

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

1. Подставляем cos²x в уравнение:
2. 2(1 - sin²x) - sinx = -1.

Теперь раскроем скобки:

2 - 2sin²x - sinx = -1.

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

2 - 2sin²x - sinx + 1 = 0.

Упрощаем уравнение:

-2sin²x - sinx + 3 = 0.

Умножим всё уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2sin²x + sinx - 3 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sinx. Обозначим y = sinx, тогда уравнение примет вид:

2y² + y - 3 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Находим дискриминант D:
• D = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25.

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных решения:

Находим корни:

• y₁ = (-b + √D) / (2a) = (-1 + 5) / 4 = 4 / 4 = 1.
• y₂ = (-b - √D) / (2a) = (-1 - 5) / 4 = -6 / 4 = -3/2.

Теперь у нас есть два значения для y:

y₁ = 1 и y₂ = -3/2.

Однако, значение -3/2 недопустимо, так как sinx может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1.

Таким образом, единственное допустимое решение:

sinx = 1.

Теперь найдем x. Уравнение sinx = 1 имеет решение:

x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 2 cos²x - sinx = -1:

x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z.